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CHAPITRE III.

$y=\sin .x,\quad y=\sin .2x,\quad y=\sin .3x,\quad y=\sin .4x,\quad \mathrm {etc.} ,$

ont été tracées pour un même intervalle sur l’axe des $x$, depuis $x=0$ jusqu’à $x=\pi \,;$ et qu’ensuite on a changé ces courbes en multipliant toutes leurs ordonnées par les ordonnées correspondantes d’une même courbe, dont l’équation est $y=\varphi x.$ Les équations des courbes réduites, sont :

$y=\sin .x.\varphi x,\;y=\sin .2x.\varphi x,\;y=\sin .3x.\varphi x,\;y=\sin .4x.\varphi x,\;\mathrm {..etc.}$

Les aires de ces dernières courbes, prises depuis $x=0$ jusqu’à $x=\pi ,$ seront les valeurs des coëfficients $a\,b\,c\,d$ etc., dans l’équation

${\tfrac {1}{2}}\pi \,\varphi x=a\sin .x+b\sin .2x+c\sin .3x+d\sin .4x+\mathrm {etc.}$

221.

On peut aussi vérifier l’équation précédente (D) (art. 219), en déterminant immédiatement les quantités $a_{1}\,a_{2}\,a_{3}\dots a_{j}$ etc., dans l’équation

$\varphi x=a_{1}\sin .x+a_{2}\sin .2x+a_{3}\sin .3x+\dots a_{j}\sin .jx+\dots \mathrm {etc.} \;;$

pour cela on multipliera chacun des membres de la dernière équation, par $\sin .ix.dx,$ $i$ étant un nombre entier, et l’on prendra l’intégrale depuis $x=0$ jusqu’à $x=\pi ,$ on aura

${\begin{aligned}\mathrm {S} (\varphi x.\sin .ix.dx)=a_{1}\mathrm {S} (\sin .x\,\sin .ix.dx)+a_{2}\mathrm {S} (\sin .2x.\sin .ix.dx)&\\+\dots a_{j}\mathrm {S} (\sin .jx.\sin .ix.dx)+\dots \mathrm {etc.} &\\\end{aligned}}$

Or on peut facilement prouver, 1^o que toutes les intégrales qui entrent dans le second membre, ont une valeur nulle, excepté le seul terme $a_{i}\mathrm {S} (\sin .ix.\sin .ix.dx)\,;$ 2^o que la valeur de $\mathrm {S} (\sin .ix.\sin .ix.dx)$ est ${\tfrac {1}{2}}\pi \,;$ d’où l’on con-