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THÉORIE DE LA CHALEUR.

convergente, il n’y a aucune forme de la ligne φφa, pour laquelle l’ordonnée $\mathrm {X} \varphi$ ne soit exactement représentée par le développement

$a+b\cos .x+c\cos .2x+d\cos .3x+e\cos .4x+\mathrm {etc.}$

L’arc φφa est entièrement arbitraire ; mais il n’en est pas de même des autres parties de la ligne, elles sont au contraire déterminées : ainsi l’arc φα a qui répond à l’intervalle de $0$ à $-\pi ,$ est le même que l’arc φa ; et l’arc total αφa se répète pour les parties consécutives de l’axe dont la longueur est $2\pi .$

On peut faire varier dans l’équation $(\nu )$ les limites des intégrales. Si elles étaient prises depuis $x=-\pi$ jusqu’à $x=\pi ,$ le résultat serait double ; il le serait aussi si les limites des intégrales étaient $0$ et $2\pi ,$ au lieu d’être $0$ et $\pi .$ Nous désignons en général par le signe $\textstyle \int \limits _{a}^{b}$ l’intégrale qui commence lorsque la variable équivaut à $a$ et qui est complète lorsque la variable équivaut à $b\,;$ et nous écrirons l’équation $(n)$ sous la forme suivante :

${\begin{aligned}&{\frac {1}{2}}\pi \,\varphi x={\frac {1}{2}}\int \limits _{0}^{\pi }\varphi x\,dx+\cos .x\int \limits _{0}^{\pi }\varphi x\,\cos .x\,dx\\&+\cos .2x\int \limits _{0}^{\pi }\varphi x\,\cos .2x\,dx+\cos .3x\int \limits _{0}^{\pi }\varphi x\,\cos .3x\,dx+\mathrm {etc.} \quad ({\boldsymbol {\nu }})\\\end{aligned}}$

Au lieu de prendre les intégrales depuis $x=0$ jusqu’à $x=\pi ,$ on pourrait les prendre depuis $x=0$ jusqu’à $x=2\pi ,$ ou