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CHAPITRE IV.

parce qu’elle est la somme de plusieurs valeurs particulières ; 2^o elle ne changera point lorsqu’on augmentera la distance $x$ d’un multiple quelconque de la circonférence de l’anneau ; 3^o elle satisfera à l’état initial, parce qu’en faisant $t=0$, on trouvera l’équation $(\varepsilon ).$ Donc toutes les conditions de la question seront remplies, et il ne restera plus qu’à multiplier par $e^{-ht}$ cette valeur de $u.$

241.

À mesure que le temps $t$ augmente, chacun des termes qui compose la valeur de $u$ devient de plus en plus petit ; le système des températures tend donc continuellement à se confondre avec l’état régulier et constant dans lequel la différence de la température $u$ a la constante $b_{0}$ est représentée par $\left(a\sin .{\frac {x}{r}}+b\cos .{\frac {x}{r}}\right)e^{-{\frac {k\,t}{r^{2}}}}$. Ainsi les valeurs particulières que nous avons considérées précédemment, et dont nous composons la valeur générale, tirent leur origine de la question elle-même. Chacune d’elles représente un état élémentaire qui peut subsister de lui-même dès qu’on le suppose formé ; ces valeurs ont une relation naturelle et nécessaire avec les propriétés physiques de la chaleur.

Pour déterminer les coëfficients $a_{0}\,a_{1}\,a_{2}\,a_{3}\dots \;b_{0}\,b_{1}\,b_{2}\,b_{3}$ etc. on emploiera l’équation (Π) art. 234, qui a été démontrée dans la dernière section du chapitre précédent.

L’abscisse totale désignée par $\mathrm {X}$ dans cette équation sera $2\pi r$, $x$ sera l’abscisse variable, et $fx$ représentera l’état initial de l’anneau, les intégrales seront prises depuis $x=0$