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CHAPITRE IV.

les exposants $\mathrm {sin.V} u,$ $\mathrm {sin.V} u',$ $\mathrm {sin.V} u'',$ $\mathrm {sin.V} u''',$ etc. deviennent de plus en plus grands. Si l’on suppose que le temps $t$ est infini, le premier terme de chaque valeur subsiste seul, et la température de chacune des masses devient égale à la température moyenne ${\frac {1}{n}}\left(a+b+c+\dots \mathrm {etc.} \right).$ Lorsque le temps $t$ augmente continuellement chacun des termes de la valeur d’une des variables, diminue proportionnellement aux puissances successives d’une fraction qui est, pour le second terme $e^{-2{\frac {k}{m}}\mathrm {sin.V} u},$ pour le troisième terme $e^{-2{\frac {k}{m}}\mathrm {sin.V} u'},$ ainsi de suite. La plus grande de ces fractions étant celle qui répond à la moindre des valeurs de $u,$ il s’ensuit que, pour connaître la loi que suivent les derniers changements de température, on ne doit considérer que les deux premiers termes : car tous les autres deviennent incomparablement plus petits à mesure que le temps $t$ augmente. Les dernières variations de température $\alpha ,\beta ,\gamma ,\delta ,$ etc., sont donc exprimées par les équations suivantes :

${\begin{aligned}\alpha &={\frac {1}{n}}\left(a+b+c+d,\mathrm {etc.} \right)\;+a_{1}\left({\frac {\sin .u-\sin .0u}{\sin .u}}\right)e^{-2{\frac {k}{m}}\,t\,\mathrm {sin.V} .u}\\\beta &={\frac {1}{n}}\left(a+b+c+d,\mathrm {etc.} \right)\;+a_{1}\left({\frac {\sin .2u-\sin .u}{\sin .u}}\right)e^{-2{\frac {k}{m}}\,t\,\mathrm {sin.V} .u}\\\gamma &={\frac {1}{n}}\left(a+b+c+d,\mathrm {etc.} \right)+a_{1}\left({\frac {\sin .3u-\sin .2u}{\sin .u}}\right)e^{-2{\frac {k}{m}}\,t\,\mathrm {sin.V} .u}\\&\mathrm {etc.} \\\end{aligned}}$

257.

Si l’on divise la demi-circonférence en un nombre $n$ de parties égales, et qu’ayant abaissé les sinus, on prenne les