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CHAPITRE IV.

remplit cette condition ; elle représente aussi l’état initial lorsqu’on suppose $t=0\,;$ car on a alors

$fx={\frac {1}{2\pi }}\int d\alpha \,f\alpha \sum \cos .i(\alpha -x)$

équation qui a été démontrée précédemment, pages 260 et 333 et qu’il est d’ailleurs facile de vérifier. Enfin la même fonction satisfait à l’équation différentielle ${\frac {dv}{dt}}=\mathrm {K} {\frac {d^{2}v}{dx^{2}}}.$ Quelle que soit la valeur du temps $t,$ la température $v$ est donnée par une série très-convergente, et les différents termes représentent tous les mouvements partiels qui se composent pour former le mouvement total. À mesure que le temps augmente, les états partiels de l’ordre le plus élevé s’altèrent rapidement, et ne conservent aucune influence appréciable ; ensorte que le nombre des valeurs que l’on doit donner à l’exposant $i$ diminue de plus en plus. Après un certain temps le système des températures est représenté sensiblement par les termes que l’on trouve en donnant à $i$ les valeurs 0, $\pm 1$ et $\pm 2$ ou seulement 0 et $\pm 1,$ ou enfin par le premier de ces termes qui est ${\frac {1}{2\pi }}\int d\alpha \,f\alpha \,;$ il y a donc une relation manifeste entre la forme de la solution et la marche du phénomène physique que l’on a soumis à l’analyse.

282.

Pour parvenir à cette solution on a considéré d’abord les valeurs simples de la fonction $v$ qui satisfont à l’équation différentielle ; on a formé ensuite une valeur qui convient avec l’état initial, et qui a par conséquent toute la généralité que la question comporte. On pourrait suivre une marche différente et déduire la même solution d’une autre