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CHAPITRE IV.

pour la valeur initiale de $u,$ une quantité plus petite, et que l’on emploie de la même manière les deux équations $\varepsilon =\mathrm {arc.tang.} u,$ $u={\frac {\varepsilon }{\lambda }},$ on parviendrait encore à des valeurs de plus en plus approchées de l’inconnue. La figure (14) fait connaître que dans ce cas on s’élève continuellement vers le point d’intersection en passant par les points $u\,\varepsilon \;u'\,\varepsilon '\;u''\,\varepsilon '',$ etc. qui terminent des droites horizontales et verticales. On obtient, en partant d’une valeur de $u$ trop petite, des quantités $\varepsilon \,\varepsilon '\,\varepsilon ''\,\varepsilon '''\,\varepsilon ^{IV},$ etc. qui convergent vers l’inconnue et sont plus petites qu’elles ; et l’on obtient, en partant d’une valeur de $u$ trop grande, des quantités qui convergent aussi vers l’inconnue, et dont chacune est plus grande qu’elle. On connaît donc des limites de plus en plus resserrées, et entre lesquelles la grandeur cherchée sera toujours comprise. L’une et l’autre approximation sont représentées par la formule

$\varepsilon =\dots \mathrm {arc.tang.} \left({\frac {1}{\lambda }}\mathrm {arc.tang.} \left({\frac {1}{\lambda }}\mathrm {arc.tang.} \left({\frac {1}{\lambda }}\mathrm {arc.tang.} {\frac {1}{\lambda }}\right)\right)\right)$

Lorsqu’on aura effectué quelques-unes des opérations indiquées, les résultats successifs différeront moins et l’on sera parvenu à une valeur approchée de $\varepsilon .$

288.

On pourrait se proposer d’appliquer les deux équations $\varepsilon =\mathrm {arc.tang.} u,$ et $u={\frac {\varepsilon }{\lambda }}$ dans un ordre différent, en leur donnant cette forme $u=\mathrm {tang.} \varepsilon$ et $\varepsilon =\lambda u.$ On prendrait pour $\varepsilon$ une valeur arbitraire, et, en la substituant dans la première équation, on trouverait la valeur de $u,$ qui étant substituée dans la seconde équation donnerait une seconde