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CHAPITRE VI.

et si l’on suppose que toute racine réelle d’une quelconque de ces équations étant substituée dans celle qui la précède, et dans celle qui la suit, donne deux résultats de signe contraire ; il est certain que la proposée $\mathrm {X} =0$ a toutes ses racines réelles, et que par conséquent il en est de même de toutes ses équations subordonnées

${\frac {d\mathrm {X} }{dx}}=0,\;\;{\frac {d^{2}\mathrm {X} }{dx^{2}}}=0,\;\;{\frac {d^{3}\mathrm {X} }{dx^{3}}}=0,\;\;\mathrm {etc.}$

ces propositions sont fondées sur la théorie des équations algébriques, et ont été démontrées depuis long-temps. Il suffit donc de prouver que les équations

$y=0,\;\;{\frac {dy}{d\theta }}=0,\;\;{\frac {d^{2}y}{d\theta ^{2}}}=0\;\;\mathrm {etc.}$

remplissent la condition précédente. Or cela suit de l’équation générale

${\frac {d^{i}y}{d\theta ^{i}}}+(i+1){\frac {d^{(i+1)}y}{d\theta ^{(i+1)}}}+\theta {\frac {d^{(i+2)}y}{d\theta ^{(i+2)}}}=0\;;$

car si l’on donne à $\theta$ une valeur positive qui rende nulle la fluxion ${\frac {d^{(i+1)}y}{d\theta ^{(i+1)}}}$, les deux autres termes ${\frac {d^{i}y}{d\theta ^{i}}}$ et ${\frac {d^{(i+2)}y}{d\theta ^{(i+2)}}}$ recevront des valeurs de signe opposé. À l’égard des valeurs négatives de $\theta$ il est visible, d’après la nature de la fonction $f\theta$, qu’aucune quantité négative mise à la place de $\theta$ ne pourrait rendre nulle, ni cette fonction, ni aucune de celles qui en dérivent par la différentiation ; car la substitution d’une quantité négative quelconque, donne à tous les termes le