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CHAPITRE VI.

$y'=0$ a toutes ses racines réelles en nombre infini, il s’en suit que l’équation $\mathrm {A} =\theta {\frac {y'}{y}}$ a la même propriété. On est parvenu à démontrer de cette manière que l’équation déterminée

${\frac {h\mathrm {X} }{2}}={\frac {{\frac {g\mathrm {X} ^{2}}{2^{2}}}-2{\frac {g^{2}\mathrm {X} ^{4}}{2^{2}.4^{2}}}+3{\frac {g^{3}\mathrm {X} ^{6}}{2^{2}.4^{2}.6^{2}}}-\mathrm {etc.} }{1-{\frac {g\mathrm {X} ^{2}}{2^{2}}}+{\frac {g^{2}\mathrm {X} ^{4}}{2^{2}.4^{2}}}-{\frac {g^{3}\mathrm {X} ^{6}}{2^{2}.4^{2}.6^{2}}}+\mathrm {etc.} }}$

dont l’inconnue est $g$ a toutes ses racines réelles et positives. Nous allons poursuivre cet examen de la fonction $u$ et de l’équation différentielle à laquelle elle satisfait.

310.

De l’équation $y+{\frac {dy}{d\theta }}+\theta {\frac {d^{2}y}{d\theta ^{2}}}=0$, on déduit l’équation générale ${\frac {d^{i}y}{d\theta ^{i}}}+(i+1){\frac {d^{(i+1)}y}{d\theta ^{(i+1)}}}+\theta {\frac {d^{(i+2)}y}{d\theta ^{(i+2)}}}=0$, et si l’on suppose $\theta =0$, on aura l’équation

${\frac {d^{(i+1)}y}{d\theta ^{(i+1)}}}=-{\frac {1}{i+1}}{\frac {d^{i}y}{d\theta ^{i}}}$

qui servira à déterminer les coëfficients des différents termes du développement de la fonction $f\theta$, car ces coëfficients dépendent des valeurs que reçoivent les rapports différentiels lorsqu’on y fait la variable nulle. En supposant le premier connu et égal à 1, on aura la série

$y=1-\theta +{\frac {\theta ^{2}}{2^{2}}}-{\frac {\theta ^{3}}{2^{2}.3^{2}}}+{\frac {\theta ^{4}}{2^{2}.3^{2}.4^{2}}}-\mathrm {etc.} ,$

si maintenant dans l’équation proposée