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CHAPITRE VI.

veloppée selon les puissances de $x$, on en déduit facilement la fonction que représenterait la même série, si l’on remplaçait les puissances

$x\,x^{2}\,x^{3}\,x^{4}\,x^{5}\dots \,\mathrm {etc.} \;\;\mathrm {par} \;\;\cos .x,\,\cos .2x,\,\cos .3x,\,\cos .4x,\,\mathrm {etc.}$

en faisant usage de cette réduction, et du procédé indiqué par le paragrap. 2^e. de l’art. (235), on obtient les intégrales définies qui équivalent à des séries données : mais nous ne pourrions entrer dans cet examen, sans nous écarter beaucoup de notre objet principal. Il suffit d’avoir indiqué les moyens qui nous ont servi à exprimer les valeurs des suites en intégrales définies. Nous ajouterons seulement le développement de la quantité $\theta {\frac {f'\theta }{f\theta }}$ en une fraction continue.

313.

L’indéterminée $y$ ou $f\theta$ satisfait à l’équation

$y+{\frac {dy}{d\theta }}+\theta {\frac {d^{2}y}{d\theta ^{2}}}=0$

d’où l’on déduit, en désignant par $y',\,y'',\,y''',\,y^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}}$ etc. les fonctions $\textstyle {\frac {dy}{d\theta }},\,{\frac {d^{2}y}{d\theta ^{2}}},\,{\frac {d^{3}y}{d\theta ^{3}}},\,{\frac {d^{4}y}{d\theta ^{4}}}$ etc.

${\begin{array}{ll}{\begin{alignedat}{3}&-y&&=y'&&+\theta y''\qquad \mathrm {ou} \quad \\&-y'&&=2y''&&+\theta y'''\\&-y''&&=3y'''&&+\theta y^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}}\\&-y'''&&=4y^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}}&&+\theta y^{\scriptscriptstyle {\text{V}}}\\&\mathrm {etc.} \\\\\\\\\\\\\end{alignedat}}&{\begin{alignedat}{2}&{\frac {y'}{y}}&&={\frac {-y'}{y'+\theta y''}}&&={\frac {-1}{1+\theta {\frac {y''}{y'}}}}\\&{\frac {y''}{y'}}&&={\frac {-y''}{2y''+\theta y'''}}&&={\frac {-1}{2+\theta {\frac {y'''}{y''}}}}\\&{\frac {y'''}{y''}}&&={\frac {-y'''}{3y''+\theta y^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}}}}&&={\frac {-1}{3+\theta {\frac {y^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}}}{y'''}}}}\\&{\frac {y^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}}}{y'''}}&&={\frac {-y^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}}}{4y^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}}+\theta y^{\scriptscriptstyle {\text{V}}}}}&&={\frac {-1}{4+\theta {\frac {y^{\scriptscriptstyle {\text{V}}}}{y^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}}}}}}\\\end{alignedat}}\!\!&\!\!\!\!\end{array}}$

d’où l’on conclut

${\begin{aligned}{\frac {y'}{y}}={\frac {-1}{1-{\cfrac {\theta }{2-{\cfrac {\theta }{3-{\cfrac {\theta }{4-{\cfrac {\theta }{5-{\cfrac {\theta }{6-\mathrm {etc.} }}}}}}}}}}}}\end{aligned}}$