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THÉORIE DE LA CHALEUR.

de ces facteurs $\sigma$ a la propriété de faire disparaître par l’intégration tous les termes qui contiennent des intégrales définies excepté un seul ; on obtient de cette manière la valeur de chacun des coëfficients $a_{1}\,a_{2}\,a_{3}$ etc. Il faut donc chercher quelles sont les fonctions qui jouissent de la propriété dont il s’agit.

316.

Chacun des termes du second membre de l’équation est une intégrale définie de cette forme $\textstyle a\int \sigma .u\,dx$ ; $u$ est une fonction de $x$ qui satisfait à l’équation

${\frac {m}{k}}u+{\frac {d^{2}u}{dx^{2}}}+{\frac {1}{x}}{\frac {du}{dx}}=0\;;$

on aura donc $a\int \sigma .u\,dx=-a{\frac {k}{m}}\int \left({\frac {\sigma }{x}}{\frac {du}{dx}}+\sigma {\frac {d^{2}u}{dx^{2}}}\right)$. En développant au moyen de l’intégration par parties les termes

$\int {\frac {\sigma }{x}}{\frac {du}{dx}}\cdot dx\;\;\mathrm {et} \;\int \sigma .{\frac {d^{2}u}{dx^{2}}}\,dx,$

on a $\int \left({\frac {\sigma }{x}}{\frac {du}{dx}}\cdot dx\right)=\mathrm {C} +u{\frac {\sigma }{x}}-\int u\,d\left({\frac {\sigma }{c}}\right)$

et $\int \sigma {\frac {d^{2}u}{dx^{2}}}\cdot dx=\mathrm {D} +{\frac {du}{dx}}\sigma -u\cdot {\frac {d\sigma }{dx}}+\int u{\frac {d^{2}\sigma }{dx^{2}}}\,dx.$

Les intégrales devant être prises entre les limites $x=0$ et $x=\mathrm {X}$, on déterminera par cette condition les quantités qui entrent dans le développement, et ne sont point sous le signe $\int$. Pour indiquer que l’on suppose $x=0$ dans une expression quelconque en $x$, on affectera cette expression de l’indice $\alpha$ ; et on lui donnera l’indice $\omega$ pour indiquer la