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CHAPITRE VI.

${\begin{aligned}x{\sqrt {\frac {m}{k}}}\,\psi '&\left(x{\sqrt {\frac {m}{k}}}\right)\psi \left(x{\sqrt {\frac {n}{k}}}\right)-x{\sqrt {\frac {n}{k}}}\,\psi '\left(x{\sqrt {\frac {m}{k}}}\right)\psi \left(x{\sqrt {\frac {m}{k}}}\right)\\&-\psi \left(x{\sqrt {\frac {m}{k}}}\right)\psi \left(x{\sqrt {\frac {n}{k}}}\right)+\psi \left(x{\sqrt {\frac {m}{k}}}\right)\psi \left(x{\sqrt {\frac {n}{k}}}\right)\end{aligned}}$

les deux derniers termes se détruisant d’eux-mêmes, il s’ensuit qu’en faisant $x=0,$ ce qui correspond à l’indice $\alpha ,$ le second membre entier s’évanouit. On conclut de là l’équation suivante :

${\begin{aligned}{\frac {n-m}{k}}\int \sigma \,u\,dx&=\mathrm {X} {\sqrt {\frac {m}{k}}}\,\psi '\left(\mathrm {X} {\sqrt {\frac {m}{k}}}\right)\psi \left(\mathrm {X} {\sqrt {\frac {n}{k}}}\right)\\&-\mathrm {X} {\sqrt {\frac {n}{k}}}\,\psi '\left(\mathrm {X} {\sqrt {\frac {n}{k}}}\right)\psi \left(\mathrm {X} {\sqrt {\frac {m}{k}}}\right)\qquad \qquad ({\boldsymbol {f}})\\\end{aligned}}$

Il est aisé de voir que le second membre de cette équation est toujours nul lorsque les quantités $m$ et $n$ sont du nombre de celles que nous avons désignées précédemment par $m_{1}\,m_{2}\,m_{3}$ etc.

On a en effet

${\frac {h\mathrm {X} }{2k}}=-\mathrm {X} {\sqrt {\frac {m}{k}}}\,{\frac {\psi '\left(x{\sqrt {\frac {m}{k}}}\right)}{\psi \left(x{\sqrt {\frac {m}{k}}}\right)}}\;\;\mathrm {et} \;\;{\frac {h\mathrm {X} }{2k}}=\mathrm {X} {\sqrt {\frac {n}{k}}}\,{\frac {\psi '\left(x{\sqrt {\frac {n}{k}}}\right)}{\psi \left(x{\sqrt {\frac {n}{k}}}\right)}},$

comparant les valeurs de $\textstyle {\frac {h\mathrm {X} }{2k}}$ on voit que le second membre de l’équation $(f)$ s’évanouit.

Il suit de là qu’après que l’on a multiplié par $\sigma \,dx$ les deux termes de l’équation

$\varphi x=a_{1}u_{1}+a_{2}u_{2}+a_{3}u_{3}+\cdots a_{i}u_{i}+\mathrm {etc.} ,$

et intégré de part et d’autre depuis $x=0$ jusqu’à $x=\mathrm {X} ,$ chacune des intégrales définies qui composent le second