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THÉORIE DE LA CHALEUR.

que $z=l$ ou $-l$, section IV du chapitre II, article 125. Si l’on donne à $v$ la valeur précédente, on aura

${\begin{aligned}-n\sin .ny+{\frac {h}{k}}\cos .ny=0\;\;\mathrm {et} &\;\;-p\sin .pz+{\frac {h}{k}}\cos .pz=0,\\&\\\mathrm {ou} \qquad \qquad {\frac {h\,l}{k}}=p\,l\,\mathrm {tang.} pl,\quad &{\frac {h\,l}{k}}=n\,l\,\mathrm {tang.} nl,\\\end{aligned}}$

on voit par-là que si l’on trouvait un arc $\varepsilon$ tel que $\varepsilon \,\mathrm {tang.} \varepsilon$ équivalût à la quantité toute connue $\textstyle {\frac {h}{k}}l$, on prendrait pour $n$ ou pour $p$ la quantité $\textstyle {\frac {\varepsilon }{l}}$. Or, il est facile de reconnaître qu’il y a une infinité d’arcs qui, multipliés respectivement par leur tangente donnent un même produit déterminé $\textstyle {\frac {hl}{k}}$, d’où il suit que l’on peut trouver pour $n$ ou pour $p$ une infinité de valeurs différentes.

322.

Si l’on désigne par $\varepsilon _{1}\,\varepsilon _{2}\,\varepsilon _{3}$ etc. les arcs en nombre infini qui satisfont à l’équation déterminée $\varepsilon \,\mathrm {tang.} \varepsilon ={\frac {hl}{k}}$, on pourra prendre pour $n$ un quelconque de ces arcs divisé par $l$. Il en sera de même de la quantité $p$ ; il faudra ensuite prendre $m^{2}=n^{2}+p^{2}$. Si l’on donnait à $n$ et à $p$ d’autres valeurs, on satisferait à l’équation différentielle ; mais non pas à la condition relative à la surface. On peut donc trouver de cette manière une infinité de valeurs particulières de $v$, et comme la somme de plusieurs quelconques de ces valeurs satisfait encore à l’équation, on pourra former une valeur plus générale de $v$.

On prendra successivement pour $n$ et pour $p$ toutes les