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CHAPITRE VII.

Ainsi l’intégrale précédente qui se réduit à

${\frac {a}{n^{2}-\nu ^{2}}}\left(n\,\sin .nl\,\cos .\nu l-(\nu \,\cos .nl\,\sin .\nu l\right)\;\;$ est nulle.

Il faut excepter le seul cas où $n=\nu .$ En reprenant alors l’intégrale $\textstyle {\frac {a}{2}}\left({\frac {\sin .{\overline {n-\nu }}.l}{n-\nu }}+{\frac {\sin .{\overline {n+\nu }}.l}{n+\nu }}\right)$, on voit que si l’on a $n=\nu ,$ elle équivaut à la quantité $\textstyle {\frac {1}{2}}\left(l+{\frac {\sin .2nl}{2n}}\right).$

Il résulte de là que si dans l’équation

$1=a_{1}\cos .n_{1}y+a_{2}\cos .n_{2}y+a_{3}\cos .n_{3}y+\mathrm {etc.}$

on veut déterminer le coëfficient d’un terme du second membre désigné par $a\cos .ny,$ il faut multiplier les deux membres par $\cos .ny.dy,$ et intégrer depuis $y=0$ jusqu’à $y=l.$ On aura pour résultat l’équation

$\int \limits _{0}^{l}\cos .ny\,dy={\frac {1}{2}}a\left(l+{\frac {\sin .2nl}{2n}}\right)={\frac {1}{n}}\sin .nl\,,$

d’où l’on tire $\textstyle {\frac {\sin .nl}{2nl+\sin .2nl}}={\frac {1}{4}}a.$ On déterminera de cette manière les coëfficients $a_{1},$ $a_{2},$ $a_{3},$ $a_{4},$ etc. ; il en sera de même des coëfficients $b_{1}\,b_{2}\,b_{3}\,b_{4},$ etc., qui seront respectivement les mêmes que les précédents.

325.

Il est aisé maintenant de former la valeur générale de $v\,;$ 1^o elle satisfera à l’équation ${\frac {d^{2}v}{dx^{2}}}+{\frac {d^{2}v}{dy^{2}}}+{\frac {d^{2}v}{dz^{2}}}=0\,;$ 2^o elle satisfera aux deux conditions $k{\frac {dv}{dy}}+hv=0$ et $k{\frac {dv}{dz}}+hv=0\,;$ 3^o elle donnera une valeur constante pour $v,$ lorsqu’on fera