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CHAPITRE VII.

il n’est pas nécessaire de s’éloigner de la source de la chaleur pour que les températures des points également distants décroissent en progression géométrique. Cette loi règne alors dans toute l’étendue de la barre.

330.

Si la demi-épaisseur $l$ est une très-petite quantité, la valeur générale de $v$ se réduit au premier terme qui contient $e^{-x\,{\sqrt {2n_{1}^{2}}}}.$ Ainsi la fonction $v$ qui exprime la température d’un point dont les coordonnées sont $x,y$ et $z$, est donnée dans ce cas par l’équation

$v=\left({\frac {4.\sin .n\,l}{2\,n\,l+\sin .2\,n\,l}}\right)^{2}.\cos .ny.\cos .nze^{-x\,{\sqrt {2n^{2}}}},$

l’arc $\varepsilon$ ou $nl$ devient extrêmement petit, comme on le voit par la construction. L’équation $\varepsilon \,\mathrm {tang.} \varepsilon ={\tfrac {h}{k}}l$ se réduit alors $\varepsilon ^{2}={\tfrac {h}{k}}l$ ; la première valeur de $\varepsilon$ ou $\varepsilon _{1}$ est $\textstyle {\sqrt {\frac {hl}{k}}}$ ; à l’inspection de la figure, on connaît les valeurs des autres racines, en sorte que les quantités $\varepsilon _{1}\,\varepsilon _{2}\,\varepsilon _{3}\,\varepsilon _{4}\,\varepsilon _{5}$ etc. sont les suivantes $\textstyle {\sqrt {\frac {hl}{k}}}$, $\pi$, $2\pi$, $3\pi$, $4\pi$, etc. Les valeurs de $n_{1}\,n_{2}\,n_{3}\,n_{4}\,n_{5}$ etc. sont donc $\textstyle {\frac {1}{\sqrt {l}}}{\sqrt {\frac {h}{k}}}$, ${\tfrac {\pi }{l}}$, ${\tfrac {2\pi }{l}}$, ${\tfrac {3\pi }{l}}$, etc. ; on en conclut comme on l’a dit plus haut, que si $l$ est une très-petite quantité, la première valeur $n$ est incomparablement plus grande que toutes les autres, et que l’on doit omettre dans la valeur générale de $v$, tous les termes qui suivent le premier. Si maintenant on substitue dans ce premier terme la valeur trouvée pour $n$, en remarquant que l’arc $nl$ et l’arc $2nl$ sont égaux à leurs sinus, on aura