Page:Fourier - Théorie analytique de la chaleur, 1822.djvu/454

422

THÉORIE DE LA CHALEUR.

On tire de là ces deux conséquences remarquables : 1^o si les deux cubes ont de grandes dimensions, et que $a$ et $a'$ soient leurs demi-côtés ; si le premier emploie le temps $t$ pour passer de la température $\mathrm {A}$ à la température $\mathrm {B} ,$ et le second le temps $t'$ pour ce même intervalle ; les temps $t$ et $t'$ seront proportionnels aux quarrés $a^{2}$ et $a'^{2}$ des demi-côtés. On a trouvé un résultat semblable pour les sphères de grande dimension. 2^o si un cube a pour demi-côté une longueur considérable $a$, et qu’une sphère ait la même quantité $a$ pour rayon, et que pendant le temps $t$ la température du cube s’abaisse de $\mathrm {A}$ à $\mathrm {B} ,$ il s’écoulera un temps différent $t'$ pendant que la température de la sphère s’abaissera de $\mathrm {A}$ à $\mathrm {B} ,$ et les temps $t$ et $t'$ seront dans le rapport de $4$ à $3.$

Ainsi le cube et la sphère inscrite se refroidissent également vite lorsqu’ils ont une petite dimension ; et dans ce cas la durée du refroidissement est pour l’un et l’autre corps proportionnelle à l’épaisseur. Si le cube et la sphère inscrite ont une grande dimension, la durée du refroidissement final n’est pas la même pour les deux solides. Cette durée est plus grande pour le cube que pour la sphère, dans la raison de $4$ à $3,$ et pour chacun des deux corps en particulier la durée du refroidissement augmente comme le carré du diamètre.

341.

On a supposé que le corps se refroidit librement dans l’air atmosphérique dont la chaleur est constante. On pourrait assujétir la surface à une autre condition, et concevoir, par exemple, que tous ses points conservent, en vertu d’une cause extérieure, la température fixe $0.$ Les quantités $n,$ $p,$ $q,$ qui entrent dans la valeur de $v$ sous le signe cosinus, doivent être telles