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THÉORIE DE LA CHALEUR.

Donc l’intégrale définie ${\frac {2}{\pi }}\int {\frac {dq}{q}}\sin .q\,\cos .qx$ est une fonction de $x$ égale à $1$ si la variable $x$ a une valeur quelconque comprise entre $1$ et $-1$ ; et cette même fonction est nulle pour toute autre valeur de $x$ non comprise entre les limites $1$ et $-1.$

358.

On pourrait déduire aussi de la transformation des séries en intégrales les propriétés des deux expressions

${\frac {2}{\pi }}\int {\frac {dq\,\cos .qx}{1+q^{2}}}\qquad \mathrm {et} \qquad {\frac {2}{\pi }}\int {\frac {q\,dq\,\sin .qx}{1+q^{2}}},$

la première (art. 350) équivaut à $e^{-x}$ lorsque $x$ est positive, et à $e^{x}$ lorsque $x$ est négative. La seconde équivaut à $e^{-x}$ si $x$ est positive, et à $-e^{x}$ si $x$ est négative, en sorte que ces deux intégrales ont la même valeur, lorsque $x$ est positive, et ont des valeurs de signe contraire lorsque $x$ est négative. L’une est représentée par la ligne $eeee,$ (fig. 19) l’autre par la ligne εεεε, (fig. 20).

L’équation

${\frac {1}{2\alpha }}\sin .x={\frac {\sin .\alpha .\sin .x}{\pi ^{2}-\alpha ^{2}}}+{\frac {\sin .2\alpha .\sin .2x}{\pi ^{2}-2^{2}.\alpha ^{2}}}+{\frac {\sin .3\alpha .\sin .3x}{\pi ^{2}-3^{2}.\alpha ^{2}}}+\mathrm {etc.} ,$

que nous avons rapportée (art. 226), donne immédiatement l’intégrale ${\frac {2}{\pi }}\int {\frac {dq\,\sin .q\pi \,\sin .qx}{1-q^{2}}}\,;$ cette dernière expression équivaut à $\sin .x$, si $x$ est comprise entre 0 et $\pi$, et sa valeur est nulle toutes les fois que $x$ surpasse $\pi .$

359.

La même transformation s’applique à l’équation générale