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THÉORIE DE LA CHALEUR.

On peut donc prendre en général pour valeur de $u$ la somme d’une infinité de valeurs semblables, et l’on aura

${\begin{aligned}u=\int dq\,e^{-q^{2}}\left(a_{1}\,e^{-n_{1}(x+2q{\sqrt {kt}})}\right.&+a_{2}\,e^{-n_{2}(x+2q{\sqrt {kt}})}\\&+\left.a_{3}\,e^{-n_{3}(x+2q{\sqrt {kt}})}+\mathrm {etc.} \right)\end{aligned}}$

Les constantes $a_{1}\,a_{2}\,a_{3}$ etc., et $n_{1}\,n_{2}\,n_{3}$ etc. étant indéterminées, la série représente une fonction quelconque de

$x+2q{\sqrt {kt}}\,;\quad \mathrm {on} \,\mathrm {a} \;\mathrm {donc} \quad u=\int dq\,e^{-q^{2}}\,\varphi (x+2q{\sqrt {kt}}).$

L’intégrale doit être prise de $u=-{\tfrac {1}{0}}$ à $u={\tfrac {1}{0}}$, et la valeur de $u$ satisfera nécessairement a l’équation ${\frac {du}{dt}}=k{\frac {d^{2}u}{dx^{2}}}.$ Cette intégrale, qui contient une fonction arbitraire, n’était point connue lorsque nous avons entrepris nos recherches sur la théorie de la chaleur, qui ont été remises à l’Institut de France dans le mois de décembre 1807 : elle a été donnée par M. Laplace, dans un ouvrage qui fait partie du tome VI des Mémoires de l’école polytechnique ; nous ne faisons que l’appliquer à la détermination du mouvement linéaire de la chaleur. On en conclut

$v=e^{-ht}\int dq\,e^{-q^{2}}\,\varphi (x+2q{\sqrt {kt}})-e^{-x{\sqrt {\frac {\mathrm {H.L} }{\mathrm {KS} }}}},$

lorsque $t=0$ la valeur de $u$ est $\mathrm {F} x-e^{-x{\sqrt {\frac {\mathrm {H.L} }{\mathrm {K.S} }}}}$ ou $fx$ donc $\varphi x=\int dq\,e^{-q^{2}}\,\varphi x$ et $\varphi x={\frac {1}{\sqrt {\pi }}}fx.$ Ainsi la fonction arbitraire qui entre dans l’intégrale, est déterminée au