La fonction désignée par est connue depuis long-temps et l’on peut calculer facilement, soit au moyen des séries convergentes, soit par les fractions continues, les différentes valeurs que reçoit cette fonction, lorsqu’on met au milieu de des quantités données ; ainsi l’application numérique de la solution n’est sujette à aucune difficulté.
366.
Si l’on fait nulle, on a
Cette équation représente la propagation de la chaleur dans une barre infinie, dont tous les points étaient d’abord à la température 0, et dont l’extrémité est élevée et entretenue à la température constante 1. On suppose que la chaleur ne peut se dissiper par la surface extérieure de la barre ; ou, ce qui est la même chose, que cette barre a une épaisseur infiniment grande. Cette dernière valeur de fait donc connaître la loi suivant laquelle la chaleur se propage dans un solide terminé par un plan infini, en supposant que ce mur infiniment épais, a d’abord dans toutes ses parties une température constante initiale 0, et que l’on assujettit la surface à une température constante 1. Il ne sera point inutile de faire observer quelques résultats de cette solution.
En désignant par l’intégrale prise depuis jusqu’à ; on a lorsque est une quantité positive,
