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CHAPITRE IX.

et se refroidit ensuite librement dans un milieu entretenu à la température 0. Pour cela il suffit de remarquer que la fonction initiale désignée par $fx$ équivaut à $e^{-x{\sqrt {\frac {h}{k}}}}$ tant que la variable $x$ qui est sous le signe de fonction est positive, et que cette même fonction équivaut à $e^{x{\sqrt {\frac {h}{k}}}}$ lorsque la variable qui est affectée du signe $\textstyle \int$ est moindre que 0. Donc

${\begin{aligned}v={\frac {e^{-ht}}{\sqrt {\pi }}}&\left(\int dq\,e^{-q^{2}}\,e^{-x{\sqrt {\frac {h}{k}}}}\,e^{-2q{\sqrt {kt}}}\right.\\&\left.\int dq\,e^{-q^{2}}\,e^{-x{\sqrt {\frac {h}{k}}}}\,e^{2q{\sqrt {kt}}}\right)\\\end{aligned}}$

la première intégrale doit être prise depuis

$x+2q{\sqrt {kt}}=0\quad \mathrm {jusqu'{\grave {a}}} \quad x+2q{\sqrt {kt}}={\tfrac {1}{0}},$

et la seconde depuis

$x+2q{\sqrt {kt}}=-{\tfrac {1}{0}}\quad \mathrm {jusqu'{\grave {a}}} \quad x+2q{\sqrt {kt}}=0.$

La première partie de la valeur de $v$ est

${\frac {e^{-ht}}{\sqrt {\pi }}}e^{-x{\sqrt {\frac {h}{k}}}}\cdot \int dq\,e^{-q^{2}}\,e^{-2q{\sqrt {ht}}},$

ou $\quad {\frac {e^{-x{\sqrt {\frac {h}{k}}}}}{\sqrt {\pi }}}\int dq\,e^{-\left(q+{\sqrt {ht}}\right)^{2}},$

ou $\quad {\frac {e^{-x{\sqrt {\frac {h}{k}}}}}{\sqrt {\pi }}}\int dr\,e^{-r^{2}}\,;$