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CHAPITRE IX.

De l’équation connue $\textstyle {\sqrt {\pi }}=\int \limits _{-{\tfrac {1}{0}}}^{+{\tfrac {1}{0}}}dq\,e{-q^{2}}$ on conclut celle-ci

$\textstyle {\sqrt {\pi }}=\int \limits _{-{\tfrac {1}{0}}}^{+{\tfrac {1}{0}}}dq\,e^{-(q+a)^{2}},$ $a$ étant une constante quelconque ;

on a donc $\qquad e^{a^{2}}={\frac {1}{\sqrt {\pi }}}\int dq\,e^{-q^{2}}\,e^{-2aq^{2}},\quad$ ou

$e^{a^{2}}={\frac {1}{\sqrt {\pi }}}\int dq\,e^{-q^{2}}\left(1-2aq+{\frac {2^{2}a^{2}q^{2}}{2}}-{\frac {2^{3}a^{3}q^{3}}{2.3}}+\mathrm {etc.} \right).$

Cette équation a lieu, quelle que soit la valeur de $a.$ On peut développer le premier membre ; et, par la comparaison des termes, on obtiendra les valeurs déjà connues de l’intégrale $\int dq\,e^{-q^{2}}\,q^{n}.$ Cette valeur est nulle lorsque $n$ est impair, et l’on trouve, lorsque $n$ est un nombre pair $2m,$

$\int dq\,e^{-q^{2}}\,q^{2m}={\frac {1}{2}}\cdot {\frac {3}{2}}\cdot {\frac {5}{2}}\cdot {\frac {7}{2}}\cdots \cdot {\frac {2m-1}{2}}\cdot {\sqrt {\pi }}.$

371.

On a employé précédemment pour l’intégrale de l’équation ${\frac {du}{dt}}=k{\frac {d^{2}u}{dx^{2}}}$ l’expression

$u=a_{1}e^{-n_{1}^{2}kt}\cos .n_{1}x+a_{2}e^{-n_{2}^{2}kt}\cos .n_{2}x+a_{3}e^{-n_{3}^{2}kt}\cos .n_{3}x+\mathrm {etc.}$

ou celle-ci

$u=a_{1}e^{-n_{1}^{2}kt}\sin .n_{1}x+a_{2}e^{-n_{2}^{2}kt}\sin .n_{2}x+a_{3}e^{-n_{3}^{2}kt}\sin .n_{3}x+\mathrm {etc.}$

$a_{1}\,a_{2}\,a_{3}\,a_{4}\dots$ etc. et $n_{1}\,n_{2}\,n_{3}\,n_{4}$ etc. étant deux séries de constantes arbitraires. Il est aisé de voir que chacun de ces termes