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CHAPITRE IX.

${\frac {2\alpha x-\alpha ^{2}}{4\,k\,t}}=\omega \qquad \mathrm {ou} \qquad t={\frac {1}{\omega }}\left({\frac {2\alpha x-\alpha ^{2}}{4\,k\,t}}\right),$

et si la plus grande valeur $g$ que puisse recevoir la variable $\alpha$ est très-petite par rapport à $x,$ on aura $t={\frac {1}{\omega }}\cdot {\frac {g\,x}{2\,k}}.$

On voit par ce résultat que plus les points dont on veut déterminer la température au moyen de l’équation réduite, sont éloignés de l’origine, plus il est nécessaire que la valeur du temps écoulé soit grande. Ainsi la chaleur tend de plus en plus à se distribuer suivant une loi indépendante de réchauffement primitif. Après un certain temps, la diffusion est sensiblement opérée, c’est-à-dire que l’état du solide ne dépend plus que de la quantité de la chaleur initiale, et non de la distribution qui en avait été faite. Les températures des points assez voisins de l’origine ne tardent pas à être représentées sans erreur par l’équation réduite $(y)\,:$ mais il n’en est pas de même des points très-distants de ce foyer. On ne peut alors faire usage de la même équation que si le temps écoulé est extrêmement long. Les applications numériques rendront cette remarque plus sensible.

382.

Supposons que la substance dont le prisme est formé, est le fer, et que la portion de ce solide qui a été échauffée a un décimètre d’étendue, en sorte que $g=0,1.$ Si l’on veut connaître quelle sera, après un temps donné, la température d’un point m dont la distance à l’origine est un mètre, et si l’on emploie pour ce calcul l’intégrale approchée $(y),$ on commettra une erreur d’autant plus grande que la valeur du temps sera moindre. Cette erreur sera plus