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CHAPITRE IX.

le mouvement de la chaleur dans les corps solides, si la transmission instantanée n’était pas bornée à une distance extrêmement petite. On a un exemple de ce genre de question dans le mouvement de la chaleur lumineuse qui pénètre les milieux diaphanes.

404.

On peut obtenir par divers moyens les intégrales de ces mêmes équations. Nous indiquerons en premier lieu celui qui résulte de l’usage du théorème énoncé dans l’art. 361, pag. 449, et que nous allons rappeler.

Si l’on considère l’expression

$\int \limits _{-\infty }^{+\infty }d\alpha \,\varphi \alpha \int \limits _{-\infty }^{+\infty }dp\,\cos .(px-p\alpha ),\qquad \qquad ({\boldsymbol {a}})$

on voit qu’elle représente une fonction de $x\,:$ car les deux intégrations définies par rapport à $\alpha$ et $p$ font disparaître ces variables, et il reste une fonction de $x.$ La nature de cette fonction dépendra évidemment de celle que l’on aura choisie pour $\varphi \alpha .$ On peut demander quelle doit être la fonction de $\varphi \alpha ,$ pour qu’après les deux intégrations définies on obtienne une fonction donnée $fx.$ En général, la recherche des intégrales propres à exprimer divers phénomènes physiques, se réduit à des questions semblables à la précédente. Ces questions ont pour objet de déterminer les fonctions arbitraires sous les signes d’intégration définie, en sorte que le résultat de cette intégration soit une fonction donnée. Il est facile de voir, par exemple, que l’intégrale générale de l’équation

${\frac {dv}{dt}}=a{\frac {d^{2}v}{dx^{2}}}+b{\frac {d^{4}v}{dx^{4}}}+c{\frac {d^{6}v}{dx^{6}}}+d{\frac {d^{8}v}{dx^{8}}}+\mathrm {etc.} \quad ({\boldsymbol {f}})$