La suite trigonométrique égale au second membre est convergente ; le sens de cette dernière proposition est que, si l’on donne à la variable une valeur quelconque, la somme des termes de la suite s’approche de plus en plus, et infiniment près, d’une limite déterminée. C’est cette limite qui est 0, si l’on a mis pour une quantité comprise entre 0 et , mais non comprise entre et et si cette quantité mise pour est comprise entre et la limite de la série a la même valeur que Cette dernière fonction n’est assujettie à aucune condition, et la ligne dont elle représente l’ordonnée peut avoir une forme quelconque ; par exemple, celle d’un contour formé d’une suite de lignes droites et de lignes courbes. On voit par là que les limites et l’intervalle total et la nature de la fonction étant arbitraires, cette proposition a un sens très-étendu ; et, comme elle n’exprime pas seulement une propriété analytique, mais qu’elle conduit facilement à la solution de plusieurs questions naturelles importantes, il était nécessaire de la considérer sous divers points de vue, et d’en indiquer les principales applications. On a donné plusieurs démonstrations de ce théorème dans le cours de cet ouvrage. Celle que nous rapporterons dans un des articles suivants (art. 424) a l’avantage de s’appliquer aussi à des fonctions non périodiques.
Si l’on suppose l’intervalle infini, les termes de la série deviennent des quantités différentielles ; la somme indiquée par le signe devient une intégrale définie, comme on le voit dans les art. 353 et 355, et l’équation (A) se transforme dans l’équation (B). Ainsi cette dernière équation (B) est contenue dans la précédente, et convient au cas où l’inter-
