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THÉORIE DE LA CHALEUR.

mules, nous considérerons l’équation ${\frac {d^{2}v}{dx^{2}}}+{\frac {d^{2}v}{dy^{2}}}=0,$ qui se rapporte au mouvement uniforme de la chaleur dans une table rectangulaire. L’intégrale générale de cette équation contient évidemment deux fonctions arbitraires. Supposons donc que l’on connaisse en fonction de $x$ la valeur de $v$ lorsque $y=0,$ et que l’on connaisse aussi, par une autre fonction de $x,$ la valeur de ${\frac {dv}{dy}}$ lorsque $y=0,$ on peut déduire l’intégrale cherchée de celle de l’équation

${\frac {d^{2}v}{dy^{2}}}={\frac {d^{2}v}{dx^{2}}},$

qui est connue depuis long-temps ; mais on trouve des quantités imaginaires sous le signe de fonction. Cette intégrale est

$v=\varphi \left(x+y{\sqrt {-1}}\right)+\varphi \left(x-y{\sqrt {-1}}\right)+\mathrm {W} .$

La seconde partie $\mathrm {W}$ de l’intégrale dérive de la première en intégrant par rapport à $y,$ et changeant $\varphi$ en $\psi .$ Il reste donc à transformer les quantités $\varphi \left(x+y{\sqrt {-1}}\right)$ et $\varphi \left(x-y{\sqrt {-1}}\right),$ afin de séparer les parties réelles des parties imaginaires. Suivant le procédé de l’article précédent, on trouve, pour la première partie $u$ de l’intégrale,

$u={\frac {1}{4\pi }}\int \limits _{-\infty }^{+\infty }d\alpha \,f\alpha \int \limits _{-\infty }^{+\infty }dp\,\cos .(px-p\alpha )\left(e^{\displaystyle py}+e^{\displaystyle -py}\right),$

et par conséquent

$\mathrm {W} ={\frac {1}{4\pi }}\int \limits _{-\infty }^{+\infty }d\alpha \,\mathrm {F} \alpha \int \limits _{-\infty }^{+\infty }dp\,\cos .(px-p\alpha )\left(e^{\displaystyle py}-e^{\displaystyle -py}\right),$

L’intégrale complète de la proposée exprimée en termes réels est donc $v=u=\mathrm {W} \,;$ et l’on reconnaît, en effet, 1^o qu’elle