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Dans le second cas, il faudra toujours que, deux des racines étant connues, les autres s’en déduisent, du moins au moyen d’un nombre de radicaux, du degré $p$ , égal au nombre des diviseurs $a^{\alpha }$ de ${\frac {p^{\nu }-1}{p-1}}$ , qui sont tels que

{\frac {p^{\nu }-1}{a^{\alpha }(p-1)}}\nu =p\;(\operatorname {mod.} \,a^{\alpha }),\;a\;{\text{premier.}}

Toutes ces propositions ont été déduites de la théorie des permutations.

Voici d’autres résultats qui découlent de ma théorie.

1^o Soit $k$ le module d’une fonction elliptique, $p$ un nombre premier donné > 3 ; pour que l’équation du degré $p+1$ , qui donne les divers modules des fonctions transformées relativement au nombre $p$ , soit résoluble par radicaux, il faut de deux choses l’une : ou bien qu’une des racines soit rationnellement connue, ou bien que toutes soient des fonctions rationnelles les unes des autres. Il ne s’agit ici, bien entendu, que des valeurs particulières du module $k$ . Il est évident que la chose n’a pas lieu en général. Cette règle n’a pas lieu pour $p=5$ .

2^o Il est remarquable que l’équation modulaire générale du sixième degré, correspondant au nombre 5, peut s’abaisser à une du cinquième degré dont elle est la réduite. Au contraire, pour des degrés supérieurs, les équations modulaires ne peuvent s’abaisser (^[1]).

↑ Cette assertion n’est pas tout à fait exacte, comme Galois en avertit lui-même dans sa Lettre à M. Auguste Chevalier, qu’on trouve plus bas. Il dit en général, au sujet de l’article que nous reproduisons ici : « La condition que j’ai indiquée dans le Bulletin de Férussac, pour la solubilité par radicaux, est trop restreinte ; il y a peu d’exceptions, mais il y en a. » Quant aux équations modulaires en particulier, il déclare l’abaissement du degré $p+1$ au degré $p$ possible, non seulement pour $p=5$ , mais encore pour $p=7$ et $p=11$ ; mais il en maintient l’impossibilité pour $p>11$ . (J. Liouville.)

[1] Cette assertion n’est pas tout à fait exacte, comme Galois en avertit lui-même dans sa Lettre à M. Auguste Chevalier, qu’on trouve plus bas. Il dit en général, au sujet de l’article que nous reproduisons ici : « La condition que j’ai indiquée dans le Bulletin de Férussac, pour la solubilité par radicaux, est trop restreinte ; il y a peu d’exceptions, mais il y en a. » Quant aux équations modulaires en particulier, il déclare l’abaissement du degré $p+1$ au degré $p$ possible, non seulement pour $p=5$ , mais encore pour $p=7$ et $p=11$ ; mais il en maintient l’impossibilité pour $p>11$ . (J. Liouville.)

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