des valeurs de et finies et déterminées. Ainsi la condition pour qu’une pareille transformation soit réellement une substitution est que ne soit ni nul ni divisible par le module , ce qui est la même chose.
Je dis maintenant que, bien que ce groupe à substitutions linéaires n’appartienne pas toujours, comme on le verra, à des équations solubles par radicaux, il jouira toutefois de cette propriété, que, si dans une quelconque de ses substitutions il y a lettres de fixes, divisera le nombre des lettres. Et, en effet, quel que soit le nombre des lettres qui restent fixes, on pourra exprimer cette circonstance par des équations linéaires qui donneront tous les indices de l’une des lettres fixes, au moyen d’un certain nombre d’entre eux. Donnant à chacun de ces indices, restés arbitraires, valeurs, on aura systèmes de valeurs, étant un certain nombre. Dans le cas qui nous occupe, est nécessairement et se trouve par conséquent être ou . Donc le nombre des substitutions ne saurait être plus grand que
Ne considérons maintenant que les substitutions linéaires où la lettre ne varie pas ; si, dans ce cas, nous trouvons le nombre total des permutations du groupe qui contient toutes les substitutions linéaires possibles, il nous suffira de multiplier ce nombre par .
Or, premièrement, en substituant à l’indice , toutes les substitutions de la forme
donneront en tout substitutions. On en aura en
ajoutant au terme le terme ainsi qu’il suit :
D’un autre côté, il est aisé de trouver un groupe linéaire de permutations, tel que, dans chacune de ses substitutions, toutes les lettres, à l’exception de , varient. Car, en remplaçant le double indice , par l’indice simple ,
