Étant donnée une équation algebrique, à coefficients quelconques, numeriques ou littéraux, reconnaître si ses racines peuvent s’exprimer en radicaux, telle est la question dont nous offrons une solution complète.
Si maintenant vous me donnez une équation que vous aurez choisie à votre gré et que vous desiriez connaître si elle est ou non soluble par radicaux, je n’aurai rien à y faire que de vous indiquer le moyen de répondre à votre question, sans vouloir charger ni moi ni personne de le faire. En un mot les calculs sont impraticables.
Il paraîtrait d’après celà qu’il n’y a aucun fruit à tirer de la solution que nous proposons.
En effet, il en serait ainsi si la question se présentait ordinairement sous ce point de vue. Mais, la plupart du tems, dans les applications de l’analyse algébrique, on est conduit à des équations dont on connaît d’avance toutes les propriétés : propriétés au moyen desquelles il sera toujours aisé de répondre à la question par les règles que nous exposerons. Il existe, en effet, pour ces sortes d’équations, un certain ordre de considérations Métaphysiques qui planent sur tous les calculs, et qui souvent les rendent inutiles. Je citerai, par exemple, les équations qui donnent la division des fonctions Elliptiques et que le célèbre Abel a résolues. Ce n’est certainement pas d’après leur forme numérique que ce géomètre y est parvenu. Tout ce qui fait la beauté et à la fois la difficulté de cette théorie, c’est qu’on a sans cesse à indiquer la marche des calculs et à prévoir les résultats sans jamais pouvoir les effectuer. Je citerai encore les équations modulaires.
