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Car si ${\frac {\varphi (z)}{z^{n}}}$ n’est pas nul quand $z=0$ pour toute valeur finie de $n$, soit $m$ une valeur telle que ${\frac {\varphi (z)}{z^{m}}}$ ne soit pas nul quand $z=0$. Si ${\frac {\varphi (z)}{z^{m}}}$ acquiert alors une valeur finie, la proposition est démontrée. Si non ${\frac {\varphi (z)}{z^{m}}}$ étant infini et $\varphi (z)$ nul pour $z=0$, en faisant croître $n$ depuis $n=0$ jusqu’à $n=m$, les valeurs de ${\frac {\varphi (z)}{z^{m}}}$ pour $z=0$ devront être infinies à partir d’une certaine limite. Soit $p$ cette limite. ${\frac {\varphi (z)}{z^{p}}}$ ne sera pas infini pour $z=0$ mais ${\frac {\varphi (z)}{z^{p+\mu }}}$ le sera, quelque petite que soit la quantité $\mu$. Donc ${\frac {\varphi (z)}{z^{\mu }}}$ ne saurait être nul pour $z=0$. La proposition est donc démontrée.

De cette proposition ainsi « démontrée », Galois conclut qu’une fonction $\varphi (z)$, qui ne devient pas infinie pour $z=0$, peut se mettre sous la forme

$\varphi (z)=\mathrm {A} +\mathrm {B} z^{n}+\mathrm {C} z^{m}+\ldots +\mathrm {P} z^{p}+z^{k}\Psi (z)$,

où les exposants positifs $n,m,\ldots ,p,k$ vont en croissant, l’exposant $k$ étant aussi grand qu’on veut et la fonction $\Psi (z)$ n’étant ni nulle ni infinie pour $z=0$.

De la formule du binôme il déduit ensuite le développement de Taylor.

Quant aux fragments qui suivent, j’ai cru devoir les reproduire tels quels, avec une exactitude minutieuse, en conservant l’orthographe, la ponctuation ou l’absence de ponctuation, sans les quelques corrections qui se présentent naturellement à l’esprit. Cette minutie m’était imposée pour les quelques passages où la pensée de Galois n’était pas claire pour moi ; sur cette pensée, les fragments informes que je publie jetteront peut-être quelque lueur. Je me suis efforcé de donner au lecteur une photographie sans retouche.

J. T.

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