Du cas où cet ensemble constitue un groupe.
Il n’y a qu’une circonstance où nous ayons reconnu que cela doit nécessairement avoir lieu. C’est celui où toutes les racines sont des fonctions rationnelles d’une quelconque d’entre elles. Démonstration.
C’est improprement, etc. Du reste, tout ce que nous avons dit est applicable à ce changement près. 1o. théorème. Si une équation jouit de la propriété énoncée, toute fonction des racines invariable par les substitutions conjuguées sera connue, et réciproquement. 2o Théorème découlant de la réciproque précédente[1]. Toute équation dont les racines seront des fonctions rationnelles de la première ; jouira de la même propriété. 3o Corollaire. Si a est une racine imaginaire d’une pareille équation et que fa en soit la conjuguée, fx sera en general la conjuguée d’une racine quelconque imaginaire, x.
On peut passer aisément de ce cas à celui où une racine étant connue, quelques unes en dépendent par des fonctions rationnelles. Car soient
Ces racines, si l’on prend, etc.
Il est aisé de voir que la même méthode de décomposition s’applique au cas où dans l’ensemble des permutations d’une équation, n mêmes lettres occupent toujours n mêmes places (abstraction faite de l’ordre) quand une seule de ces lettres occupe une de ces places, et il n’est pas nécessaire pour celà que l’ensemble de ces permutations constitue un groupe.
- ↑ Mots placés en interligne et presque illisibles ; on pourrait aussi bien lire remarque que réciproque.
