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équations^[1]. Nous nous contenterons donc d’avoir exposé les définitions indispensables pour l’intelligence de la suite et nous allons montrer la liaison qui existe entre les deux théories.

§ 2. Comment la théorie des Équations dépend de celle des Permutations.

6. Considérons une équation à coefficients quelconques et regardons comme rationnelle toute quantité qui s’exprime rationnellement au moyen des coëfficients de l’équation, et même au moyen d’un certain nombre d’autres quantités irrationnelles adjointes que l’on peut supposer connues à priori.

Lorsqu’une fonction des racines ne change pas de valeur numériques par une certaine substitution opérée entre les racines, elle est dite invariable par cette substitution. On voit qu’une fonction peut très bien être invariable par telle ou telle substitution entre les racines, sans que sa forme l’indique. Ainsi, si $\mathrm {F} (x)=0$ est l’équation proposée, la fonction $\varphi [\mathrm {F} (a),\mathrm {F} (b),\ldots ]$, ( $\varphi$ étant une fonction quelconque, $a,b,c$… les racines) sera une fonction de ces racines invariable par toute substitution entre les racines, sans que sa forme l’indique généralement.

Or c’est une Question dont il ne paraît pas qu’on ait encore la solution, de savoir si, étant donnée une fonction de plusieurs

1. Ce fragment comporte trois feuilles du format 20 × 15, du même papier que le fragment M ; la troisième feuille, dont il est question dans une note ultérieure, est intacte ; les deux autres sont déchirées, à droite, de haut en bas ; il manque quelques lettres et, parfois, des mots entiers ; d’où les crochets que l’on trouvera dans le texte imprimé. La déchirure a pu se faire en détachant les trois feuilles d’un cahier pareil à celui qui porte le titre « Notes de mathématiques » et dont j’ai parlé plus haut.

   Cet essai est sans doute antérieur à la rédaction du Mémoire sur les conditions de résolubilité des équations par radicaux, et de la feuille relative à la proposition I de ce Mémoire, dont j’ai parlé précédemment (p. 11) ; les deux rédactions sont interrompues ; pour l’une et l’autre, la fin de la page reste blanche ; l’essai n’a pas été achevé.