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Q

RECHERCHE SUR LES SURFACES DU 2^d DEGRÉ^[1].

Problème^[2]. Étant données dans un parallélépipède les trois arêtes $m,m',m''$ , et les angles $\theta ,\theta ',\theta ''$ , que font entre elles respectivement $m'$ et $m'',m\;{\text{et}}\;m''$ , trouver l’expression des angles de la diagonale avec les arêtes.

Soit $m=\mathrm {OM} ,m'=\mathrm {OM} ',m''=\mathrm {OM} ''$ . Si l’on cherche l’angle $\mathrm {POM}$ que la diagonale $\mathrm {OP}$ forme avec $\mathrm {OM}$ , on aura dans le triangle $\mathrm {OPM}$

\cos \mathrm {POM} ={\frac {m^{2}+\mathrm {OP} ^{2}-{\overline {\mathrm {PM} }}^{2}}{2m.\mathrm {OP} }}

Mais on a par la géométrie

{\overline {\mathrm {OP} }}^{2}=m^{2}+m'^{2}+2m'm''\cos \theta +2mm''\cos \theta '+2mm'\cos \theta ''

{\overline {\mathrm {PM} }}^{2}=m'^{2}+m''^{2}+2m'm''\cos \theta

d’où l’on tire

m^{2}+{\overline {\mathrm {OP} }}^{2}-{\overline {\mathrm {PM} }}^{2}=2m(m+m''\cos \theta '+m'\cos \theta '')

↑ Malgré son caractère élémentaire, j’ai cru devoir publier cette note, qui n’est pas sans intérêt pour l’histoire de la Géométrie analytique et de la théorie des invariants. En raison de son contenu, on peut supposer qu’elle remonte au temps où Galois était élève de M. Richard, dans la classe de Mathématiques spéciales, ou au moment où il sortait de cette classe pour entrer à l’École Normale. Toutefois, la première supposition semble devoir être écartée : s’il en avait eu connaissance, M. Richard aurait sans doute fait pénétrer dans son enseignement les idées de son élève, qui se seraient diffusées immédiatement. Quoi qu’il en soit, cette note a, comme le morceau précédent, l’aspect d’une copie d’écolier, avec la signature en haut et à gauche ; elle ressemble tout à fait à quelques-unes des copies de Galois, que M. Richard avait conservées et données à Hermite. M. Émile Picard a retrouvé ces copies de Galois dans les papiers d’Hermite ; il a bien voulu me les remettre pour qu’elles soient jointes au précieux trésor que M^me de Blignières donne à l’Académie des Sciences. L’une de ces copies contient un petit travail, que Galois a sans doute fait librement et remis à son maître, et où son esprit philosophique se manifeste déjà ; j’en extrais cette curieuse réflexion :

Un auteur me dit : « l’arithmétique est la base de toutes les parties des Mathématiques, puisque c’est toujours aux nombres qu’il faut ramener les résultats des calculs. » D’après la dernière phrase de l’auteur, il serait plus naturel de croire que l’arithmétique est le terme et le complément de l’Analyse ; et c’est ce qui a lieu.

Toutes ces copies, comme la présente note, sont sur du papier de format 23 × 18.
↑ Il y a une figure en marge, dans le texte de Galois.

[1] Malgré son caractère élémentaire, j’ai cru devoir publier cette note, qui n’est pas sans intérêt pour l’histoire de la Géométrie analytique et de la théorie des invariants. En raison de son contenu, on peut supposer qu’elle remonte au temps où Galois était élève de M. Richard, dans la classe de Mathématiques spéciales, ou au moment où il sortait de cette classe pour entrer à l’École Normale. Toutefois, la première supposition semble devoir être écartée : s’il en avait eu connaissance, M. Richard aurait sans doute fait pénétrer dans son enseignement les idées de son élève, qui se seraient diffusées immédiatement. Quoi qu’il en soit, cette note a, comme le morceau précédent, l’aspect d’une copie d’écolier, avec la signature en haut et à gauche ; elle ressemble tout à fait à quelques-unes des copies de Galois, que M. Richard avait conservées et données à Hermite. M. Émile Picard a retrouvé ces copies de Galois dans les papiers d’Hermite ; il a bien voulu me les remettre pour qu’elles soient jointes au précieux trésor que M^me de Blignières donne à l’Académie des Sciences. L’une de ces copies contient un petit travail, que Galois a sans doute fait librement et remis à son maître, et où son esprit philosophique se manifeste déjà ; j’en extrais cette curieuse réflexion :

Un auteur me dit : « l’arithmétique est la base de toutes les parties des Mathématiques, puisque c’est toujours aux nombres qu’il faut ramener les résultats des calculs. » D’après la dernière phrase de l’auteur, il serait plus naturel de croire que l’arithmétique est le terme et le complément de l’Analyse ; et c’est ce qui a lieu.

Toutes ces copies, comme la présente note, sont sur du papier de format 23 × 18.

[2] Il y a une figure en marge, dans le texte de Galois.

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