Mais quelle perte doit-on assimiler à une erreur déterminée ? C’est ce qui n’est pas clair en soi ; cette détermination dépend en partie de notre volonté. Il est évident, d’abord, que la perte ne doit pas être regardée comme proportionnelle à l’erreur commise ; car, dans cette hypothèse, une erreur positive représentant une perte, l’erreur négative devrait être regardée comme un gain : la grandeur de la perte doit, au contraire, s’évaluer par une fonction de l’erreur dont la valeur soit toujours positive. Parmi le nombre infini de fonctions qui remplissent cette condition, il semble naturel de choisir la plus simple, qui est, sans contredit, le carré de l’erreur, et, de cette manière, nous sommes conduit au principe proposé plus haut.
Laplace a considéré la question d’une manière analogue, mais en adoptant, pour mesure de la perte, l’erreur elle-même prise positivement. Cette hypothèse, si nous ne nous faisons pas illusion, n’est pas moins arbitraire que la nôtre : faut-il, en effet, regarder une erreur double comme plus ou moins regrettable qu’une erreur simple répétée deux fois, et faut-il, par suite, lui assigner une importance double ou plus que double ? C’est une question qui n’est pas claire, et sur laquelle les arguments mathématiques n’ont aucune prise ; chacun doit la résoudre à son gré. On ne peut nier pourtant que l’hypothèse de Laplace ne s’écarte de la loi de continuité et ne soit, par conséquent, moins propre à une étude analytique ; la nôtre, au contraire, se recommande par la généralité et la simplicité de ses conséquences.
Posons, en conservant les notations précédentes,
nous appellerons l’erreur moyenne à craindre ou, sim-
