Page:Gauss - Méthode des moindres carrés, trad. Bertrand, 1855.djvu/34

( 20 )

craindre en faisant $y=m^{2}$. D’après ce qui a été dit (art. 6), cette erreur sera la racine carrée de la moyenne de la fonction

${\left({\frac {{x}^{2}+{x'}^{2}+{x''}^{2}+\ldots }{\sigma }}-m^{2}\right)}^{2}$.

Pour la trouver, il suffit d’observer que la valeur moyenne d’un terme tel que ${\frac {x^{4}}{\sigma ^{2}}}$ est égale à ${\frac {n^{4}}{\sigma ^{2}}}$ ($n$ ayant la même signification que dans l’art. 11), et que la valeur moyenne d’un terme tel que ${\frac {2{x^{2}}{x'}^{2}}{\sigma ^{2}}}$ est égale à ${\frac {2m^{4}}{\sigma ^{2}}}$ ; par conséquent, la valeur moyenne de cette fonction sera

${\frac {n^{4}-m^{4}}{\sigma }}$.

De là nous concluons que si le nombre des erreurs irrégulières est suffisamment grand, la valeur de $m$ sera représentée, avec une grande certitude, par la formule

$m={\sqrt {\frac {{x}^{2}+{x'}^{2}+{x''}^{2}+\ldots }{\sigma }}}$,

et l’erreur moyenne à craindre dans la détermination du carré de $m$, sera égale à

${\sqrt {\frac {n^{4}-m^{4}}{\sigma }}}$.

Comme cette dernière formule contient la quantité $n$, si l’on veut seulement se faire une idée du degré de précision de cette détermination, il suffira d’adopter pour la fonction $\varphi$ une hypothèse particulière.

Si nous prenons, par exemple, la troisième hypothèse des art. 9 et 11, cette erreur sera égale à $m^{2}{\sqrt {\frac {2}{\sigma }}}$. Si on le préfère, on pourra obtenir une valeur approchée de $n^{4}$ au moyen des erreurs elles-mêmes, à l’aide de la formule

${\frac {{x}^{4}+{x'}^{4}+{x''}^{4}+\ldots }{\sigma }}$.