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ARITHMÉTIQUES.

appartenant à l’exposant $5$, suivant le module $5n+1$, nombre qu’on a appris à trouver dans la section précédente, on aura $a^{5}\equiv 1$, ou $(a-1)(a^{4}+a^{3}+a^{2}+a+1)\equiv 0{\pmod {5n+1}}$. Mais comme on ne peut avoir $a\equiv 1$, il s’ensuit qu’on aura $a^{4}+a^{3}+a^{2}+a+1\equiv 0$ ; donc $4(a^{4}+a^{3}+a^{2}+a+1)=(2a^{2}+a+2)^{2}-5a^{2}\equiv 0$ ; c’est-à-dire, que $5a^{2}$ est résidu de $5n+1$ ; et partant $5$ lui-même, puisque $a^{2}$ est un résidu non-divisible par $5n+1$ ; car, à cause de $a^{5}\equiv 1$, $a$ n’est pas divisible par $5n+1$.

Comme le cas où il est question d’un nombre premier de la forme $5n+4$ demande des artifices particuliers de calculs, et comme nous traiterons par la suite, d’une manière générale, les propositions au moyen desquelles on peut résoudre ce problème, nous nous contenterons d’en parler ici en passant.

1^o. Si $p$ est un nombre premier, et $b$ un nombre aussi donné non-résidu de $p,$ la valeur de l’expression ${\frac {(x+{\sqrt {b}})^{p+1}-(x-{\sqrt {b}})^{p+1}}{\sqrt {b}}}=A$, dont le développement ne contiendra pas d’irrationnelles, sera toujours divisible par $p$, quelque valeur que l’on attribue à $x$. En effet il est clair, par l’inspection des coefficiens qui naissent de ce développement, que tous les termes, depuis le second jusqu’à l’avant-dernier inclusivement, sont divisibles par $p$, et que partant $A\equiv 2(p+1)\left(x^{p}+xb^{\frac {p-1}{2}}\right){\pmod {p}}$ ; mais parceque b est non-résidu de p, on aura $b^{\frac {p-1}{2}}\equiv -1{\pmod {p}}$, (n^o 106) ; or on a toujours $x^{p}\equiv x$ (section précédente), d’où s’ensuit $A\equiv 0$.

2^o. Dans la congruence $A\equiv 0$, l’indéterminée $x$ aura $p$ dimensions, et tous les nombres $0,1,2,3....p-1$, seront racines de cette congruence. Soit $e$ un diviseur de $p+1$, l’expression ${\frac {(x+{\sqrt {b}})^{e}-(x-{\sqrt {b}})^{e}}{\sqrt {b}}}=A$ que nous représenterons par $B$, sera rationnelle, $x$ y aura $e-1$ dimensions, et il est constant par les premiers élémens d’analyse, que $A$ est divisible par $B$. Or je dis qu’il y a $e-1$ valeurs, qui rendent $B$ divisible par $p$. En effet, soit $A=BC$, $x$ aura dans $C$, $p-e+1$ dimensions, et partant la congruence $C\equiv 0{\pmod {p}}$, ne pourra avoir plus de $p-e+1$ racines, d’où il suit

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