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RECHERCHES

Mais $4a^{2}-p$ est de la forme $4n+3$ et $+p$ est résidu quadratique de $4a^{2}-p,$ puisque $4a^{2}-p\equiv p{\pmod {4a^{2}-p}}.$ Si donc $4a^{2}-p$ est un nombre premier, $-p$ sera non-résidu ; dans le cas contraire $4a^{2}-p$ renfermera un facteur de cette forme ; donc $+p$ sera résidu, et partant $-p$ non-résidu.

Quand le nombre premier est pris positivement, il est nécessaire de distinguer deux cas ; celui où $p$ est de la forme $8n+5,$ et celui où il est de la forme $8n+1.$

Soit d’abord $p$ de la forme $8n+5$, prenons un nombre positif quelconque $a<{\sqrt {{\frac {1}{2}}p}}$ ; alors $8n+5-2a^{2}$ sera un nombre positif de la forme $8n+5$ ou $8n+3$, suivant que $a$ sera pair ou impair, et nécessairement divisible par un nombre premier de la forme $8n+3$ ou $8n+5$, car le produit des nombres de la forme $8n+1$ et $8n+7$ ne peut avoir ni la forme $8n+3$, ni la forme $8n+5.$ Soit cette différence égale à $q$, on aura $8n+5\equiv {2a^{2}}{\pmod {q}}$. Mais (n^o 112) $2$ est non-résidu de $q$, et partant $2a^{2}$ et $8n+5$ (n^o 98). $a^{2}$ en effet n’est pas divisible par $q$, car sans cela le nombre premier $p$ serait divisible par $q$.

126. La démonstration n’est pas aussi simple dans le cas où le nombre premier positif est de la forme $8n+1$. Mais comme cette vérité est d’une grande importance, nous ne pouvons omettre la démonstration, quoiqu’un peu longue.

Lemme. Si l’on a deux suites de nombres $\mathrm {A} ,$ $\mathrm {B} ,$ $\mathrm {C} ,$ $\mathrm {D} ,$ etc. (I), $\mathrm {A'} ,$ $\mathrm {B'} ,$ $\mathrm {C'}$ $\mathrm {D'} ,$ etc. (II), (dans lesquelles il est indifférent que les termes soient ou non en même nombre) telles que $\mathrm {p}$ étant un nombre premier quelconque ou une puissance d’un nombre premier qui divise un ou plusieurs termes de la seconde, il y ait au moins autant de termes de la première qui soient divisibles par $\mathrm {p}$ ; alors je dis que le produit de tous les nombres de (I) est divisible par le produit de tous les nombres de (II).

Soit $p=(m+1)^{2}-k$, $m$ étant la racine du plus grand quarré contenu dans $p$ ; il en résulte $(m+1)^{2}\equiv p{\pmod {k}}$. Or si $m+1$ est pair, $k$ sera de la forme $4n+3$ et parconséquent $-p$ sera non-résidu de $k$ ; si $m+1$ est impair, $k$ sera de la forme $4n$, et comme les nombres de cette forme n’ont d’autres résidus que ceux qui sont de la forme $4n+1$ ou $8n+1$ (n^o 103), il s’ensuit que $-p$ est non-résidu de $k$ ; or $k$ est $<p$. (Note du Traducteur).