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RECHERCHES

donné quelconque, qu’il y a de termes divisibles par $h$ dans la progression $1,$ $2,$ $3,$.... $n$.

128. Théorème. Soit $\mathrm {a}$ un nombre quelconque de la forme $8\mathrm {n} +1$, $\mathrm {p}$ un nombre quelconque premier avec $\mathrm {a}$ et dont $+\mathrm {a}$ soit résidu, et $\mathrm {m}$ un nombre arbitraire ; je dis que dans la suite, $\mathrm {a}$, ${\frac {1}{2}}(\mathrm {a} -1)$, $2(\mathrm {a} -4)$, ${\frac {1}{2}}(\mathrm {a} -9)$, $2(\mathrm {a} -16)$... $2(\mathrm {a} -\mathrm {m^{2}} )$ ou ${\frac {1}{2}}(\mathrm {a} -\mathrm {m^{2}} )$ suivant que $\mathrm {m}$ est pair ou impair, il y a au moins autant de termes divisibles par $\mathrm {p}$ que dans la suite $1$, $2$, $3\dots \mathrm {2m+1} .$ Désignons la première par (I), la seconde par (II).

1^o. Quand $p=2$, tous les termes de (I), le premier excepté, c’est-à-dire $m$ termes, seront divisibles par $2$, et il y en aura autant dans (II).

2^o. Si $p$ est un nombre impair, ou le double ou le quadruple d’un nombre impair, et que $a\equiv r^{2}{\pmod {p}}$, alors dans la progression $-m$, $-(m-1)$, $-(m-2)$... $0$, $1$, $2$... $m$ (III), qui a le même nombre de termes que (II), il y aura au moins autant de termes congrus à $r$ suivant le module $p$, qu’il y en a dans (II) de divisibles par $p$ (n^o précéd.) ; mais on ne pourra pas en trouver deux qui ne diffèrent que par le signe ; en effet si $r\equiv {-f}\equiv {+f}{\pmod {p}}$, on aura $2f\equiv 0$ ; donc aussi $2a\equiv 0$, puisque par hypothèse $f^{2}\equiv a$ ; mais comme $a$ est premier avec $p$, on ne peut avoir $2a\equiv 0{\pmod {p}}$ à moins que $p=2$, et nous avons déjà parlé de ce cas. Enfin chacun de ces nombres aura, dans la série (I) , son correspondant qui sera divisible par $p$ ; savoir, si $\pm b$ est un terme de la série (III) congru à $r$ suivant $p$, on aura $a-b^{2}\equiv 0{\pmod {p}}$. Si donc $b$ est pair, le terme $2(a-b^{2})$ sera divisible par $p$ ; si $b$ est impair, le terme ${\frac {1}{2}}(a-b^{2})$ sera divisible par $p$ ; car ${\frac {a-b^{2}}{p}}$ sera entier et pair, puisque (hyp.) $a$ est de la forme $8n+1$, et $b^{2}$ l’est aussi comme quarré d’un nombre impair, tandis que $p$ est au plus divisible par $4$. On conclut enfin de là qu’il y a dans la série (I) autant de termes divisibles par $p$, qu’il y en a dans la série (III) de congrus avec $r$ suivant le module $p$, c’est-à-dire autant ou plus qu’il y en a de divisibles par $p$ dans la série (II).

3^o. Soit $p$ de la forme $8n$, et $a\equiv r^{2}{\pmod {2p}}$ ; car on voit facilement que $a$ étant résidu de $p$, le sera aussi de $2p$. Alors dans la