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ARITHMÉTIQUES.

Quand $P$ sera de la forme $\pm A$ on aura $\chi +\omega \equiv 0{\pmod {2}}$, (n^o 132), et parconséquent $\chi -\omega \equiv 2\omega$, ou $\chi -\omega \equiv 0{\pmod {2}}$ ; donc $p'-p\equiv 0{\pmod {2}}$. Quand $P$ est de la forme $\pm B$ on trouve par un raisonnement semblable que $p$ et $p'$ sont incongrus suivant le module $2$.

4^o. Appliquons cela aux différens cas. Soient d’abord $P$ et $Q$ de la forme $+A$, on aura (prop. 1) $p\equiv q{\pmod {2}}$ ; mais (3^e.) $p'\equiv p$ ; donc $p'\equiv p{\pmod {2}}$, ce qui s’accorde avec la proposition 2. De même si $P$ est de la forme $-A$ et $Q$ de la forme $+A$, on aura $p\equiv q{\pmod {2}}$, par la proposition 2 que nous venons de démontrer ; donc, comme $p'\equiv p$, on aura $p'\equiv q$ ; ainsi la prop. 5 est démontrée.

On déduira de la même manière la prop. 7 de la prop. 3, la 8^e de la 4^e ou de la 7^e, la 9^e et la 10^e de la 6^e.

135. Les propositions du n^o 133 ne sont à la vérité pas démontrées par le n^o précédent ; mais nous avons fait voir que leur vérité dépend de la vérité du théorème fondamental que nous avons supposé ; et par la méthode que nous avons suivie pour les déduire, il est évident qu’elles ont lieu pour les nombres $P$ et $Q$, si le théorème fondamental a lieu pour tous les facteurs premiers de ces nombres comparés entre eux, quand même il ne serait pas généralement vrai. Passons maintenant à la démonstration du théorème fondamental. Pour rendre plus clair ce qui suivra, il est bon de prévenir d’avance que lorsque nous dirons que le théorème fondamental est vrai jusqu’à un nombre $M$, nous entendrons par là qu’il a lieu pour deux nombres premiers quelconques dont aucun n’est plus grand que $M$.

On doit entendre la même chose, lorsque nous dirons que les théorèmes des n^os 131, 132, 133 sont vrais jusqu’à une certaine limite. Au reste, on voit que si la vérité du théorème fondamental est constatée jusqu’à une certaine limite, ces propositions auront aussi lieu jusqu’à la même limite.

136. La vérité du théorème fondamental pour de petits nombres, se découvre facilement par l’induction ; ainsi on aura une limite jusqu’à laquelle il aura lieu. Nous supposons cette induction établie, et il est absolument indifférent jusqu’à quel point on la pousse. Ainsi il suffirait de la continuer jusqu’au nombre $5$, ce qui se fait par une seule observation, puisqu’on $\pm 5N3$ et $\pm 3N5$.