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ARITHMÉTIQUES.

se contiennent improprement, nous dirons qu’elles sont improprement équivalentes. On verra bientôt l’utilité de ces distinctions.

Exemple. Par la substitution $x=2x'+y'$, $y=3x'+2y'$, la forme $2x^{2}-8xy+3y^{2}$ devient $-13x'^{2}-12x'y'-2y'^{2}$ ; et celle-ci se change en la première, par la substitution $x'=2x-y$, $y'=-3x+2y$. Donc les formes $(2,-4,+3)$ et $(-13,-6,-2)$ sont proprement équivalentes.

Nous allons maintenant nous occuper des problèmes suivans :

1^o. Étant données deux formes quelconques qui ont le même déterminant, chercher si elles sont équivalentes ou non, si elles le sont proprement ou improprement, ou des deux manières à-la-fois, ce qui est possible. Quand elles ont des déterminans inégaux, chercher si l’une ne renferme pas l’autre, proprement, improprement, ou des deux manières. Enfin trouver toutes les transformations tant propres qu’impropres de l’une dans l’autre.

2^o. Étant donnée une forme quelconque, trouver si un nombre donné peut être représenté par elle, et assigner toutes les représentations.

Mais comme les formes dont le déterminant est négatif exigent une autre méthode que celles dont le déterminant est positif, nous présenterons d’abord ce qu’il y a de commun aux deux cas, que nous considérerons ensuite séparément.

159. Si la forme $\mathrm {F}$ renferme la forme $\mathrm {F'}$, et que la forme $\mathrm {F'}$ renferme la forme $\mathrm {F''}$, $\mathrm {F}$ renfermera $\mathrm {F''} .$

Soient $x$, $y$ ; $x'$, $y'$ ; $x''$, $y''$, les indéterminées des formes $F$, $F'$, $F''$ respectivement, que $F$ devienne $F'$ en posant

$x=\alpha x'+\beta y'$, $y=\gamma x'+\delta y',$

et que $F'$ devienne $F''$ en posant

$x'=\alpha 'x''+\beta 'y''$, $y'=\gamma 'x''+\delta 'y''.$

Il est clair que $F$ se changera en $F''$, en faisant

$x$	$=\alpha (\alpha 'x''+\beta 'y'')+\beta (\gamma 'x''+\delta 'y'')$
	$=(\alpha \alpha '+\beta \gamma ')x''+(\alpha \beta '+\beta \delta ')y''$

et

$y$	$=\gamma (\alpha 'x''+\beta 'y'')+\delta (\gamma 'x''+\delta 'y'')$
	$=(\alpha '\gamma +\delta \gamma ')x''+\beta '\gamma +\delta \delta ')y''$ :

Comme

	$(\alpha \alpha '+\beta \gamma ')(\beta '\gamma +\delta \delta ')-(\alpha \beta '+\beta \delta ')(\alpha '\gamma +\gamma '\delta )$
$=$	$(\alpha \delta -\beta \gamma )(\alpha '\delta '-\beta '\gamma ')$,

qui sera positif si les deux facteurs sont de même signe, et négatif dans le cas contraire, la forme $F$

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