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ARITHMÉTIQUES.
ou bien comme ,
……(9)
Si l’on multiplie la troisième par la quatrième, il vient
et comme
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si l’on fait d’ailleurs , on aura
…… (10) ;
en ajoutant le produit de la troisième par la sixième à celui de la quatrième et de la cinquième, on aura
…… (11) ;
en multipliant la cinquième par la sixième, on trouvera
…… (12).
Supposons maintenant que soit le plus grand commun diviseur des nombres , , , et que les nombres , , soient
déterminés, de manière qu’on ait (no 40).
Multiplions les équations (7), (8), (9), (10), (11), (12), respectivement par , , , , , , et ajoutons les produits, en faisant pour abréger,
…… (13)
et
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,…… (14), |
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on trouve , et étant manifestement entiers.
Nous sommes donc conduits à cette conclusion élégante, que la solution de l’équation indéterminée en nombres entiers dépend de deux transformations quelconques semblables de la forme en la forme en prenant , . Au
reste, comme dans nos raisonnemens nous n’avons pas supposé
que les transformations fussent différentes, une seule transformation prise deux fois doit donner une solution ; mais alors ,
, etc., , , etc., et partant et ,
solution qui se présentait d’elle-même.
Considérons maintenant comme connue la première transformation, et la solution de liquation indéterminée, et cherchons