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RECHERCHES

est facile de le ramener. Au reste, cette solution n’est pas restreinte au cas des formes de déterminant négatif ; elle convient à tous les cas, pourvu qu’aucun des nombres $a'$, $a''$, $a''$, etc. ne soit égal à zéro.

178. Problème. Étant données deux formes $\mathrm {F}$ et $\mathrm {f}$ de même déterminant négatif et proprement équivalentes, trouver une transformation propre de l’une en l’autre.

Supposons que $F$ soit la forme $(A,B,A')$ ; par la méthode du n^o 171, on cherchera la suite des formes $(A',B',A''),$ $(A'',B'',A'''),$ etc. jusqu’à la réduite $(A^{(m)},B^{(m)},A^{(m+1)}).$ Soit $(a,b,a')$ l’autre forme $f\,;$ on cherchera de même la suite $(a',b',a''),$ $(a'',b'',a'''),$ etc. jusqu’à $(a^{(m)},b^{(m)},a^{(n+1)}),$ qui est la réduite. Alors il peut se présenter deux cas :

1^o. Si les formes $(A^{(m)},B^{(m)},A^{(m+1)})$, $(a^{(n)},b^{(n)},a^{(n+1)})$ sont identiques, ou à-la-fois opposées et ambiguës, les formes $(A^{(m-1)},B^{(m-1)},A^{(m)})$, $(a^{(n)},b^{(n-1)},a^{(n-1)})$ seront contigues, $A^{(m-1)}$ désignant l’avant-dernier terme de la suite $A$, $A'$, $A''$, etc. (il en est de même de $B^{(m-1)}$, $a^{(n-1)}$, $b^{(n-1)}$ ; car, $A^{(n)}=a^{(n)}$, $B^{(m-1)}+B^{(m)}\equiv 0{\pmod {A^{(m)}}},$ $b^{(n-1)}+b^{(n)}\equiv 0{\pmod {a^{(m)}=A^{(m)}}},$
d’où $B^{(m-1)}-b^{(n-1)}+B^{(m)}-b^{(n)}\equiv 0\,;$ mais si les formes réduites sont identiques, $B^{(m)}-b^{(n)}=0$ ; si elles sont opposées et ambiguës, $B^{(m)}-b^{(n)}=A^{(n)}$ ; donc dans les deux cas $B^{(m-1)}-b^{(n-1)}\equiv 0$. Il suit de là que dans la suite de formes :

$(A,B,A')$, $(A',B',A'')$ …$(A^{(m-1)},B^{(m-1)},A^{(m)}),$

$(a^{(n)},-b^{(n-1)},a^{(n-1)}),(a^{(n-1)},-b^{(n-2)},a^{(n-2)})\ldots$

$(a',-b,a)$, $(a,b,a').$

Une quelconque est contiguë à celle qui la précède, et parconséquent (n^o précéd.) on pourra trouver une transformation propre de $F$ en $f$.

2^o. Si les formes $(A^{(m)},B^{(m)},A^{(m+1)})$, $(a^{(n)},-b^{(n)},a^{(n+1)})$ n’étant pas identiques, sont opposées et que leurs termes extrêmes soient égaux, on aura $A^{(m)}=A^{(m+1)}=a^{(n)}=a^{(n+1)}$, d’où $A^{(m+1)}=a^{(n)}$, et $B^{(m)}-b^{(n-1)}=-(b^{(n)}+b^{(n-1)})$, et partant divisible par ${\displaystyle }$ ; donc la forme $(A^{(m)},B^{(m)},A^{(m+1)})$ est contiguë à la forme $(a^{(n)},-b^{(n-1)},a^{(n-1)})$, et la suite :

$(A,B,A')$, $(A',B',A'')$ …$(A^{(m)},B^{(m)},A^{(m+1)}),$

$(a^{(n)},-b^{(n-1)},a^{(n-1)}),(a^{(n-1)},-b^{(n-2)},a^{(n-2)})\ldots$

$(a',-b,a)$, $(a,b,a').$