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ARITHMÉTIQUES.

formes réduites soient épuisées. Ainsi, par exemple, les formes réduites dont le déterminant est $79$ se distribuent en six périodes,

1…	$(1,8,-15),$	$(-15,7,2),$	$(2,7,-15),$	$(-15,8,1).$
2…	$(-1,8,15),$	$(15,7,-2),$	$(-2,7,15),$	$(15,8,-1).$
3…	$(3,8,-5),$	$(-5,7,6),$	$(6,5,-9),$	$(-9,4,7),$
			$(7,3,-10),$	$(-10,7,3).$
4…	$(-3,8,5),$	$(5,7,-6),$	$(-6,5,9),$	$(9,4,-7),$
			$(-7,3,10),$	$(10,7,-3).$
5…	$(5,8,-3),$	$(-3,7,10),$	$(10,3,-7),$	$(-7,4,9),$
			$(9,5,-6),$	$(-6,7,5).$
6…	$(-5,8,3),$	$(3,7,-10),$	$(-10,3,7),$	$(7,4,-9),$
			$(-9,5,6),$	$(6,7,-5).$

6^o. Nous nommerons formes associées, celles qui sont composées des mêmes termes, mais placés dans un ordre inverse, comme $(a,b,-a')$, $(-a',b,a)$. On voit alors facilement (n^o 184, 7^o.) que si la période de la forme réduite $F$ est $F$, $F'$, $F''$ etc., que $f$ soit associée à $F$, $f'$ à $F^{n-1}$, $f''$ à $F^{n-2}$ etc. $f^{n-2}$ à $F''$, $f^{n-1}$ à $F'$, la période de $f$ sera $f$, $f'$, $f''$, …$f^{n-1}$, et contiendra, partant, le même nombre de formes que la période de $F$. Nous nommerons périodes associées celles qui sont ainsi composées de formes associées. Les périodes 3 et 6, 4 et 5 de l’exemple précédent sont dans ce cas-là.

7^o. Mais il peut arriver aussi que la forme $f$ se trouve elle-même dans la période de son associée, comme aux périodes 1 et 2 de notre exemple, et que parconséquent la période de la forme $F$ coïncide avec celle de la forme $f$, c’est-à-dire que la période de la forme $F$ soit elle-même son associée. Toutes les fois que cette circonstance a lieu, la période renferme deux formes ambiguës. Supposons en effet que la période de la forme $F$ contienne $2n$ formes, ou que $F=F^{(2n)}$. Soit $2m+1$ l’indice de la forme $f$ dans la période de $F$ (car $F$ et $f$ ont leurs premiers termes de signe contraire, (2^o.), c’est-à-dire que $F^{(2m+1)}$ et $F$ soient associées ; il est évident qu’alors $F'$ et $F^{(2m)}$ seront aussi associées, de même $F''$ et $F^{(2m-1)}$ etc., et partant $F^{(m)}$ et $F^{(m+1)}$. Soit $F^{(m)}=(a^{(m)},b^{(m)},-a^{(m+1)})$, $F^{(m+1)}=(-a^{(m+1)},b^{(m+1)},a^{(m+2)})$ ; on aura $b^{(m)}+b^{(m+1)}\equiv 0{\pmod {a^{(m+1)}}}$ ; mais par la définition des formes associées $b^{(m)}=b^{(m+1)}$. donc $2b^{(m+1)}\equiv 0{\pmod {a^{(m+1)}}}$ c’est-à-dire que la forme $F^{(m+1)}$ est ambiguë. De même, les formes $F^{(2n)}$ et $F^{(2m+1)}$ sont associées, donc aussi $F^{(2m+2)}$ et $F^{(2n-1)}$, $F^{(2m+3)}$ et $F^{(2n-2)}$, etc. et enfin $F^{(m+n)}$ et$F^{(m+n+1)}$ dont la dernière sera ambiguë, comme on le prouvera par un raisonnement semblable. Mais comme $m+1$