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ARITHMÉTIQUES.

en la forme $lx^{2}+2mxy+ny^{2}$ par la substitution $X=\alpha x+\beta y$, $Y=\gamma x+\delta y$, nous dirons plus simplement que $(L,M,N)$ se change en $(l,m,n)$ par la substitution $\alpha$, $\beta$, $\gamma$, $\delta$. De cette manière il ne sera pas nécessaire de représenter par des caractères particuliers les indéterminées des formes dont il sera question ; mais il est clair qu’il faut bien distinguer dans toutes les formes la première et la seconde indéterminée.

Soit proposée la forme réduite $(a,b,-a')=f$ et dont le déterminant est $D$ ; on formera comme au n^o 186 une suite de formes réduites qui s’étende indéfiniment dans les deux sens,… $''f$, $'f$, $f$, $f'$, $f''$… ensorte que l’on ait

$f'$	$=(-a',b',a'')$,	—	$f''$	$=(a'',b'',-a'''),$	${\text{etc.}}$
$'f$	$=(-'a,'b,a)$,	—	$''f$	$=(''a,''b,-'a),$	${\text{etc.}}$

Faisons

${\frac {b+b'}{-a'}}=h'$,__	__${\frac {b'+b''}{a''}}=h''$,__	__${\frac {b''+b'''}{-a'''}}=h'''$,	${\text{etc.}}$
${\frac {'b+b}{a}}=h$,__	__${\frac {''b+'b}{-'a}}='h$,__	__${\frac {'''b+''b}{''a}}=''h$,	${\text{etc.}}$

Il est clair que si l’on calcule les nombres $\alpha '$, $\alpha ''$, etc., $\beta '$, $\beta ''$, etc. par le moyen des relations suivantes (comme au n^o 177).

$\alpha '$	$=0$	…	$\beta '$	$=-1$	…	$\gamma '$	$=1$	…	$\delta '$	$=h'$
$\alpha ''$	$=\beta '$	…	$\beta ''$	$=h''\beta '$	…	$\gamma ''$	$=\delta '$	…	$\delta ''$	$=h''\delta '-1$
$\alpha '''$	$=\beta ''$	…	$\beta '''$	$=h'''\beta ''-\beta '$	…	$\gamma '''$	$=\delta ''$	…	$\delta '''$	$=h'''\delta ''-\delta '$
$\alpha ^{(IV)}$	$=\beta '''$	…	$\beta ^{(IV)}$	$=h^{(IV)}\beta '''-\beta ''$	…	$\gamma ^{(IV)}$	$=\delta '''$	…	$\delta ^{(IV)}$	$=h^{(IV)}\delta '''-\delta ''$
	${\text{etc.}}$			${\text{etc.}}$			${\text{etc.}}$			${\text{etc.}}$

$f$ se changera en ${\begin{cases}f'\\f''\\f'''\\{\text{etc.}}\end{cases}}$ par la substitution ${\begin{cases}\alpha ',\beta ',\gamma ',\delta '\\\alpha '',\beta '',\gamma '',\delta ''\\\alpha ''',\beta ''',\gamma ''',\delta '''\\{\text{etc.}}\end{cases}}$ et toutes ces transformations seront propres.

Comme $'f$ se change en $f$ par la substitution propre $0$, $1$, $1$, $h$ (n^o 161), $f$ se changera en $'f$ par la substitution propre $h$, $1$, $-1$, $0$ ; par la même raison $'f$ se changera en $''f$ par la substitution propre $'h$, $1$, $-1$, $0$, $''f$ en $'''f$ par la substitution propre $''h$, $1$, $-1$, $0$, etc. ; de là, et au moyen du n^o 159, on déduira comme au n^o 177 les relations suivantes entre $'\alpha$ $''\alpha$, etc. $'\beta$, $''\beta$, etc.

Y