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RECHERCHES
pas égal à zéro. En second lieu, soit ; l’équation
donne et ; donc l’équation (2)
devient ; ainsi et sont de même signe, ce qui rend
. Donc dans l’équation (3) on doit
prendre le signe inférieur, puisque en prenant le signe supérieur,
il s’ensuivrait que et seraient de même signe ; on a donc
, ce qui est absurde par la même raison que
ci-dessus. Pour la seconde partie du théorème, si nous supposons
qu’on n’ait ni , ni ; que et aient le même signe
que et qu’on ait, en premier lieu, , l’équation
donne , , donc l’équation (1) devient ,
ainsi et sont de même signe, ce qui rend
. Partant, dans l’équation (6), il faut
prendre le signe supérieur, et l’on a , ce qui est
absurde puisque , et que n’est . Enfin, en second lieu, si l’on a , l’équation donne ,
. Donc l’équation (2) devient , ce qui rend
. Ainsi dans l’équation (5), il faut
prendre le signe supérieur, et l’on a ; ce qui est
absurde.
Le théorème est donc maintenant démontré dans toute sa
généralité.
Puisque la différence entre et est , la différence entre
et ou sera . D’ailleurs entre et , ou
entre cette quantité et , il ne pourra tomber aucune fraction
dont le dénominateur ne soit et (lemme précéd.). De
la même manière, la différence entre et ou sera
, et il ne pourra tomber entre cette quantité et l’une
quelconque