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RECHERCHES

où $a$, $b$, $c$, etc. sont des nombres entiers quelconques.

Si l’on introduit à la place des inconnues $x$, $y$, d’autres inconnues

$p=(b^{2}-ac)x+be-cd,\quad q=(b^{2}-ac)y+bd-ae$,

qui seront évidemment entiers quand $x$, $y$ le seront, on aura l’équation

$ap^{2}+2bpq+cq^{2}+(b^{2}-ac)(ae^{2}-2bed+cd^{2})+f(b^{2}-ac)^{2}=0,$

ou, en faisant pour abréger                               $(b^{2}-ac)(ae^{2}-2bed+cd^{2})+f(b^{2}-ac)^{2}=-M$,

$ap^{2}+2bpq+cq^{2}=M.$

Or nous avons donné la manière de trouver toutes les solutions de cette équation, c’est-à-dire, toutes les représentations du nombre $M$ par la forme $(a,b,c)$ ; mais on a par les relations entre $p$, $q$, $x$ et $y$,

$x={\frac {p+cd-be}{b^{2}-ac}},\qquad y={\frac {q+ae-bd}{b^{2}-ac}}.$

Si donc on rejette de toutes les valeurs qui en résultent pour $x$ et $y$, celles qui sont fractionnaires, il ne restera que les solutions cherchées.

À l’égard de cette solution, il y a plusieurs observations à faire.

1^o. Si $M$ ne peut être représenté par la forme $(a,b,c)$, ou si aucune représentation ne fournit de valeurs entières pour $x$, $y$ ; l’équation n’est pas résoluble.

2^o. Quand le déterminant $b^{2}-ac$ de la forme $(a,b,c)$ est négatif ou positif quarré, et qu’on a en même temps $\pm M>0,$ les représentations du nombre $M$ par la forme $(a,b,c)$ sont limitées, et parconséquent aussi les solutions de l’équation proposée, s’il en existe.

3^o. Quand $b^{2}-ac$ est positif non quarré, ou qu’il est quarré, et qu’on a en même temps $M=0,$ si le nombre $M$ peut être représenté par la forme $(a,b,c),$ le nombre des représentations sera infini. Mais comme il est impossible de trouver alors toutes

ces