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ARITHMÉTIQUES.

valeurs différentes que ses deux opposées, quand m est un nombre premier impair, ou une puissance d’un nombre premier impair, ou $=4$ ; mais quand $m=8$ ou une plus haute puissance de $2$ , il y en a quatre en tout. On conclut facilement de là, au moyen de ce qui a été exposé (6^o.), que si le déterminant $D$ de la forme $(a,b,c)$ est $\pm 2^{\mu }A^{\alpha }B^{\beta }$ , etc, $A$ , $B$ , etc. étant des nombres premiers impairs dont le nombre est $n$ , et que $M$ soit le nombre caractéristique de cette forme, il y aura en tout $2^{n}$ , $2^{n+1}$ ou $2^{n+2}$ valeurs différentes de l’expression ${\sqrt {M(a,b,c)}}{\pmod {D}}$ , suivant que $\mu >2$ , $=2$ ou $>2$ . Ainsi, par exemple, on a 16 valeurs de l’expression ${\sqrt {7(12,6,-17)}}{\pmod {240}}$ , qui sont :

$(\pm 18,\mp 11)$ ,	$(\pm 18,\pm 29)$ ,	$(\pm 18,\mp 91)$ ,	$(\pm 18,\pm 109)$ ,
$(\pm 78,\pm 19)$ ,	$(\pm 78,\pm 59)$ ,	$(\pm 78,\mp 61)$ ,	$(\pm 78,\mp 101)$ .

Nous supprimons la démonstration, qui est assez longue, et qui n’est pas nécessaire ici.

8^o. Observons enfin que si deux formes équivalentes $F$ , $F'$ ont $D$ pour déterminant, que le nombre caractéristique soit $M$ et que $F$ se change en $F'$ par la substitution $\alpha$ , $\beta$ , $\gamma$ , $\delta$ , d’une valeur $(g,h)$ de ${\sqrt {M.F}}{\pmod {D}}$ , on tirera $(\alpha g+\gamma h,\beta g+\delta h)$ pour la valeur de ${\sqrt {M.F'}}{\pmod {D}}$ , chacun pourra trouver sans peine la démonstration.

234. Après avoir exposé ces détails sur la distribution des formes en classes, en genres et en ordres, et avoir expliqué les propriétés qui naissent de ces distinctions, nous allons passer à un autre sujet très-important et dont personne ne s’est encore occupé, à la composition des formes ; mais avant de commencer cette recherche, nous placerons le lemme suivant, pour ne pas être obligé d’interrompre l’ordre des démonstrations.

Lemme. Si l’on a quatre suites de nombres entiers : $\mathrm {a,\,a',\,a'',\dots a^{n}\,;}$ $\mathrm {b,\,b',\,b'',\dots b^{n}\,;}$ $\mathrm {c,\,c',\,c'',\dots c^{n}\,;}$ $\mathrm {d,\,d',\,d'',\dots d^{n},}$ composées d’autant de termes, et telles qu’on ait

$\mathrm {cd'-dc'}$	$=$	$\mathrm {k(ab'-ba')} ,$
$\mathrm {cd''-dc''}$	$=$	$\mathrm {k(ab''-ba'')} ,$	etc.
$\mathrm {c'd''-d'c''}$	$=$	$\mathrm {k(a'b''-b'a'')} ,$	etc., etc.

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