Page:Gauss - Recherches arithmétiques, traduction Poullet-Delisle, 1807.djvu/269

247

ARITHMÉTIQUES.

ce qui prouve la relation $\Delta ^{2}-dd'=0$, soit qu’on ait ou non $a=0$. Cette manière de trouver l’équation $\Delta ^{2}=dd'$ suffit pour les recherches présentes ; mais nous aurions pu la trouver directement par une analyse plus élégante mais trop longue pour être placée ici, en déduisant directement des onze premières équations celle-ci $0=(\Delta -dd')^{2}$. Nous supposerons donc qu’on ait effacé $\Delta ^{2}-dd'$ dans les équations (14), (15), (20), (21).

Or si l’on fait

$A_{1}P+B_{1}(R-S)+C_{1}U=mn',\quad A_{2}P+B_{2}(R+S)+C_{2}T=m'n,$

où $n$, $n'$ peuvent être des fractions, pourvu que $mn'$ et $m'n$ soient entiers, on tire facilement des équations (12)……(17),

$Dm^{2}n'^{2}=d'(A_{1}a+2B_{1}b+C_{1}c)^{2}=d'm^{2},$

et des équations (18)..... .(23) ,

$Dm'^{2}n'^{2}=d'(A_{2}a'+2B_{2}b'+C_{2}c')^{2}=dm^{2},$

On a donc $d=Dn^{2},$ $d='Dn'^{2},$ d’où nous tirons une première condition : les déterminans des formes $\mathrm {F} ,$ $\mathrm {f} ,$ $\mathrm {f'}$ sont entre eux comme des nombres quarrés ; et une seconde : $\mathrm {D}$ divise toujours $\mathrm {dm'^{2}}$ et $\mathrm {d'm^{2}} .$ Il suit donc de là que $D,$ $d,$ $d'$ sont de même signe, et qu’aucune forme ne peut être transformée en le produit $ff'$ si son déterminant est plus grand que le plus grand diviseur commun des nombres $dm'^{2}$ et $d'm^{2}.$

Si l’on multiplie les équations (12), (13), (14) par $A,$ $B,$ $C,$ respectivement ; les équations (13), (15), (16), les équations (14), (16), (17) par les mêmes nombres et de la même manière ; que l’on ajoute les trois produits en y remplaçant $d'$ par $Dn'^{2},$ on trouve, à l’aide de l’équation $A_{1}P+B_{1}(R-S)+CU_{1}=mn'_{1},$

$P=an',\quad R-S=2bn',\quad U=cn'$

de même, en multipliant, 1^o. les équations (18), (19), (20) ; 2^o. les équations (19), (21), (22) ; 3^o. les équations (20), (22), (23) par $A_{2},$ $B_{2},$ $C_{2}$ respectivement, on a

$Q=a'n\quad R+S=2b'n\quad T=c'n.$

Ce qui donne une troisième condition : les nombres $\mathrm {a} ,$ $\mathrm {2b} ,$ $\mathrm {c}$ sont proportionnels aux nombres $\mathrm {P} ,$ $\mathrm {R-S} ,$ $\mathrm {U\,;}$ et en supposant