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ARITHMÉTIQUES

24. L’expression $ax+b,\ a\ et\ b$ étant des nombres donnés et $x$ un nombre indéterminé ou variable, peut devenir congrue à un nombre donné quelconque, suivant le module $m,$ premier avec $a.$ Soit $c$ le nombre auquel l’expression $ax+b$ doit être congrue, et $e$ le résidu minimum positif de $c-b.$ Par le n^o précédent on trouvera nécessairement une valeur de $x<m,$ telle que le résidu minimum du produit $ax,$ suivant le module $m,$ soit $e$. Nommons $v$ cette valeur, on aura $av\equiv e\equiv c-b\ ;$ donc $av+b\equiv c{\pmod {m}}.$

25. Nous appelons congruence l’expression de deux quantités congrues, à l’instar des équations ; si elle renferme une inconnue, la résoudre, c’est trouver pour cette inconnue une valeur qui satisfasse à la congruence, c’est-à-dire la racine de cette congruence. On conçoit par là ce que c’est qu’une congruence résoluble, et une congruence irrésoluble. On voit enfin que nous emploierons les mêmes distinctions qui ont lieu dans les équations. Nous verrons plus bas des exemples de congruences transcendantes. Quant aux congruences algébriques, elles se divisent selon la plus haute puissance de l’inconnue, en congruences du premier, du second degré, etc. On peut même proposer plusieurs congruences qui renferment plusieurs inconnues, et de l’élimination desquelles nous traiterons.

26. La congruence du premier degré $ax+b\equiv c$ se résout toujours par le n^o 24, quand le module est premier avec $a$ et si $v$ est la valeur convenable de $x,$ ou la racine de la congruence, il est évident que tous les nombres congrus à $v,$ suivant le module de la congruence, seront aussi des racines (n^o 9). Il n’est pas moins évident que toutes les racines doivent être congrues à $v\ :$ en effet, si $t$ est une autre racine, on aura $av+b\equiv at+b\ ;$ donc $av\equiv at,$ et partant $v\equiv t.$ On peut conclure de là que la congruence $x\equiv v{\pmod {m}},$ donne la résolution complète de la congruence $ax+b\equiv c.$

Comme les résolutions de la congruence par les valeurs de $x$ congrues à $v,$ se présentent d’elles-mêmes, et que sous cet aspect les nombres congrus doivent être considérés comme équivalens, nous regarderons ces solutions comme une seule et même. C’est pourquoi nous dirons que la congruence $ax+b\equiv c,$ qui n’en admet pas d’autres, ne peut être résolue que d’une seule manière ou n’a qu’une seule racine. Ainsi, par exemple, la congruence $6x+5\equiv 13{\pmod {11}},$ n’admet pas d’autres racines que celles qui

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