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ARITHMÉTIQUES.

facilement que

si $f$ se change en $f'$ par la substitution	——et——	si $f'$ se change en $f''$ par la substitution
$\alpha$, $\beta$, $\gamma$ ;		$\delta$, $\epsilon$, $\zeta$ ;
$\alpha '$, $\beta '$, $\gamma '$ ;		$\delta '$, $\epsilon '$, $\zeta '$ ;
$\alpha ''$, $\beta ''$, $\gamma ''$ ;		$\delta ''$, $\epsilon ''$, $\zeta ''$ ;

$f$ se changera en $f''$ par la transformation

$\alpha \delta +\beta \delta '+\gamma \delta ''$,	$\alpha \epsilon +\beta \epsilon '+\gamma \epsilon ''$,	$\alpha \zeta +\beta \zeta '+\gamma \zeta ''$ ;
$\alpha '\delta +\beta '\delta '+\gamma '\delta ''$,	$\alpha '\epsilon +\beta '\epsilon '+\gamma '\epsilon ''$,	$\alpha '\zeta +\beta '\zeta '+\gamma '\zeta ''$ ;
$\alpha ''\delta +\beta ''\delta '+\gamma ''\delta ''$,	-$\alpha ''\epsilon +\beta ''\epsilon '+\gamma ''\epsilon ''$,-	$\alpha ''\zeta +\beta ''\zeta '+\gamma ''\zeta ''$ ;

ainsi, dans le cas où $f$ est équivalente à $f'$, et $f'$ à $f''$ la forme $f$ sera aussi équivalente à $f''$. Au reste, on voit aisément comment ces théorèmes s’étendraient à un plus grand nombre de formes.

271. Il suit évidemment de là que toutes les formes ternaires, ainsi que les formes binaires, peuvent se distribuer en classes, en rapportant à la même classe les formes équivalentes, et celles qui ne le sont pas, à des classes différentes. Ainsi les formes de déterminant différent appartiendront certainement à des classes différentes, et partant il y aura un nombre infini de classes de formes ternaires ; mais les formes ternaires de même déterminant donnent un nombre de classes tantôt plus grand, tantôt plus petit, mais toujours fini, ce qui peut être considéré comme une propriété principale de ces formes. Avant de traiter avec plus de détail cette proposition très-importante, nous expliquerons une différence essentielle qui a lieu entre les formes ternaires.

Quelques formes ternaires sont telles, qu’on peut représenter par elles, sans distinction des nombres positifs et négatifs, par exemple, la forme $x^{2}+y^{2}-z^{2},$ et nous les nommerons formes indéfinies. Au contraire, il en existe d’autres par lesquelles on ne peut représenter de nombres négatifs, comme la forme $x^{2}+y^{2}+z^{2}$, et nous les nommerons formes positives ; enfin, par d’autres, on ne peut représenter que des nombres négatifs, comme la forme $-x^{2}-y^{2}-z^{2}$, nous les nommerons formes négatives. Les formes positives et négatives s’appelleront formes définies. Nous allons donner les caractères auxquels on peut reconnaître à laquelle de ces espèces appartient une forme donnée.