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RECHERCHES

ramener de la manière suivante tous les cas à celui-là, qui paraît n’être qu’un cas très-particulier. Soit $D$ un nombre à représenter par la forme ${\begin{array}{l}{\begin{pmatrix}g,&g',&g''\\h,&h',&h''\\\end{pmatrix}},\end{array}}$ dont le déterminant $=\Delta$, et qui a pour adjointe la forme${\begin{array}{l}{\begin{pmatrix}G,&G',&G''\\H,&H',&H''\\\end{pmatrix}}\ ;\end{array}}$ cette dernière aura pour adjointe la forme ${\begin{array}{l}{\begin{pmatrix}\Delta g,&\Delta g',&\Delta g''\\\Delta h,&\Delta h',&\Delta h''\\\end{pmatrix}}=F,\end{array}}$ et il est clair que les représentations du nombre $\Delta D$ par $F$ qu’on peut trouver par la méthode précédente, sont identiques avec les représentations du nombre $D$ par la forme proposée. On voit au reste que si les coefficiens de la forme $f$ ont $\mu$ pour commun diviseur, tous ceux de $F$ seront divisibles par $\mu ^{2}$, et parconséquent $\Delta D$, sans quoi il n’y aurait aucune représentation ; les représentations du nombre $D$ par la forme proposée coïncident avec les représentations du nombre ${\frac {\Delta D}{\mu ^{2}}}$ par la forme qui naît de $F$ en divisant les différens coefficiens par $\mu ^{2}$, et cette forme sera adjointe à celle qui naît de $f$ en divisant les différens coefficiens par $\mu$.

Enfin observons que cette solution du premier problème n’est pas applicable au cas où $D=0$, car alors les formes de déterminant $D$ ne peuvent pas se distribuer en un nombre fini de classes ; nous résoudrons plus bas ce cas particulier par une méthode différente.

282. La recherche des représentations d’une forme binaire donnée de déterminant qui n’est pas $=0$, par une forme ternaire donnée, dépend des observations suivantes :

I. De toute représentation propre d’une forme binaire $(p,q,r)=\varphi$ de déterminant $D$ par une forme ternaire $f$ de déterminant $\Delta$, on peut déduire des nombres entiers $B$, $B'$ tels qu’on ait $B^{2}\equiv \Delta p$, $BB'\equiv -\Delta q$, $B'^{2}\equiv \Delta r{\pmod {D}}$, et partant une expression de ${\sqrt {\Delta (p,-q,r)}}{\pmod {D}}$.

Soit en effet $x=\alpha t+\beta u$, $x'=\alpha 't+\beta 'u$, $x''=\alpha ''t+\beta ''u$, une représentation propre de la forme $\varphi$ par $f$ ; $x$, $x'$, $x''$ ; $t$, $u$ étant les indéterminées des formes $f$, $\varphi$. On prendra des nombres entiers $\gamma$, $\gamma '$, $\gamma ''$, tels que

$(\alpha '\beta ''-\alpha ''\beta ')\gamma +(\alpha ''\beta -\alpha \beta '')\gamma '+(\alpha \beta '-\alpha '\beta )\gamma ''=k=\pm 1.$