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ARITHMÉTIQUES.
2o. Quand parmi les nombres , , il y en a deux égaux,
et , par exemple, supposons d’abord . Alors, de la même
manière que dans le cas précédent, on aura , ,
, , ; les équations 2, 3, 6 deviennent
, , ; d’où l’on tire ,
, , , ou, , , . Mais si , les équations 2 et 3 donnent ,
et , , , , ou , ,
, ; l’une ou l’autre supposition donnent, par les
équations 4 et 5, , , et par l’équation 1, . Ainsi
dans les deux cas il y a seize transformations différentes. Les
deux autres cas où ou bien se résolvent de la
même manière, pourvu qu’on change , , , pour le premier
cas, en , , ; pour le second, en , , respectivement.
3o. Quand les nombres , , sont égaux, les équations 1,
2, 3 exigent que des nombres , , , ainsi que des nombres
, , , et des nombres deux soient égaux à zéro et
le troisième égal à ; or, par les équations 4, 5, 6, on voit
qu’il ne peut y avoir qu’un seul nombre parmi , , ,
ou , , , ou , , . Il ne reste que six combinaisons.
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, et les six autres coefficiens ;
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desorte que par l’ambiguïté des signes il y a en tout quarante-huit
transformations. — Le même tableau renferme aussi les cas précédens ; mais des six colonnes il ne faut prendre que la première,
quand , , sont tous inégaux ; la première et la seconde,
quand ; la première et la troisième, quand ; la première et la sixième, quand .
Il suit de là que si la forme se change
en la forme équivalente par la substitution
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toutes les transformations de en sont contenues dans le tableau suivant :
V v